浙江省杭州市富阳区2022-2023学年九年级上学期期末学业水平测试数学试题

试卷更新日期：2023-03-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. $s i n 45 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2. 下列事件中，属于随机事件的是（）

A、从地面向上抛的硬币会落下 B、射击运动员射击一次，命中10环 C、太阳从东边升起 D、有一匹马奔跑的速度是70米/秒

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3. 如图，线段 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $A C ∥ B D$ ，若 $O A = 6$ ， $O C = 3$ ， $O D = 2$ ，则 $O B$ 的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（）

A、2π B、4π C、12π D、24π

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5. 如图所示，将一个含 $3 0^{∘}$ 角的直角三角板 $A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，点 $B$ 的对应点是点 $B^{'}$ ，若点 $B^{'}$ 、 $A$ 、 $C$ 在同一条直线上，则三角板 $A B C$ 旋转的度数是（）

A、 $6 0^{∘}$ B、 $9 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $15 0^{∘}$

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6. 关于抛物线 $y = (x - 2)^{2} - 4$ ，下列说法：①图象开口向上；②图象与 $x$ 轴有两个交点；③当 $x = - 2$ 时， $y$ 有最小值-4.正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上任意一点（不与 $A$ ， $B$ 重合），设 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则（）

A、 $c = a s i n A$ B、 $a = c c o s A$ C、 $a = c t a n A$ D、 $a = b t a n A$

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8. 凸透镜成像的原理如图所示， $A D ∥ l ∥ B C$ .若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线 $D B$ 的距离之比为 $5 ： 4$ ，则物体被缩小到原来的（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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9. 已知点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 在二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + b (a > 0)$ 的图像上，若 $y_{1} > y_{2}$ ，则必有（）

A、 $x_{1} > x_{2} > 1$ B、 $x_{1} < x_{2} < 1$ C、 $| x_{1} - 1 | < | x_{2} - 1 |$ D、 $| x_{1} - 1 | > | x_{2} - 1 |$

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10. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为 $x$ 时，线段 $M N$ 的长度记为 $d (x)$ .下列描述正确的是（）

A、当 $x_{1} > x_{2}$ 时， $d (x_{1}) > d (x_{2})$ B、当 $d (x_{1}) > d (x_{2})$ 时， $x_{1} > x_{2}$ C、当 $x_{1} + x_{2} = 1$ 时， $d (x_{1}) = d (x_{2})$ D、当 $x_{1} = 2 x_{2}$ 时， $d (x_{1}) = 2 d (x_{2})$

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二、填空题

11. 若 $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{b - a}{b} =$ .

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12. 如图，四边形 $A B C O$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在 $⊙ O$ 上，若 $∠ A B C = 130 °$ ，则 $∠ A O C =$ .

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13. 学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘.则小明和小慧同车的概率为.

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14. 如图，把两张宽度都是 $3 cm$ 的纸条交错地叠在一起，相交成角 $α$ ，则重叠部分的面积是 ${cm}^{2}$ .

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15. 汽车刹车后行驶的距离 $s ($ 单位： $m)$ 关于行驶的时间 $($ 单位： $)$ 的函数解析式是 $s = 15 t - 6 t^{2}$ ，汽车刹车后到停下来前进了米.

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16. 如图，面积为4的正方形 $A B C D$ 中， $E F G H$ 分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是.

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三、解答题

17. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数（件）
50
100
200
500
800
1000
合格频数
47
95
188
480
763
949
合格频率
0.94
0.95
0.94
0.96
0.95
0.95

(1)、估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到0.01）；

(2)、估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件.

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18. 如图， $O A = O B$ ， $A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $D$ ， $O E$ 是半径，且 $O E ⊥ A B$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $A C = B D$ ；

(2)、若 $C D = 8$ ， $E F = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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19. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线.求铅球的落地点离运动员有多远（结果保留根号）？

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20. 如图，从甲楼底部 $A$ 处测得乙楼顶部 $C$ 处的仰角是 $30 °$ ，从甲楼顶部 $B$ 处测得乙楼顶部 $C$ 处的俯角是 $45 °$ ，已知两楼之间的距离 $A D = 30 m$ ，求这两幢楼的高度（结果保留根号）.

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21. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ ， $F$ 分别在线段 $B D$ ， $A C$ 上，连结 $A D$ ， $E F$ 交于点 $G$ ， $∠ C E F = 2 ∠ C A D$ .

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ E F C$ ；

(2)、若 $B E = 2 D E$ ， $\frac{A F}{C F} = \frac{3}{2}$ ，求 $\frac{F G}{G E}$ 的值.

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22. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 1)$ 和 $B (2 ， 4)$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 满足的关系式；

(2)、当自变量 $x$ 的值满足 $- 1 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数图象与 $x$ 轴无交点，求 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围.

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23. 如图， $⊙ O$ 的半径为1，直径 $A B$ ， $C D$ 的夹角 $∠ A O D = 60 °$ ，点 $P$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 上一点，连接 $P A$ ， $P C$ 分别交 $C D$ ， $A B$ 于点 $M$ ， $N$ .

(1)、若 $P C ⊥ A B$ ，求证： $P A ⊥ C D$ ；

(2)、当点 $P$ 在 $\overset{⌢}{B D}$ 上运动时.
①猜想：线段 $A M$ 与 $C N$ 有怎样的数量关系，并给出证明；
②求证： $P A + P C = \frac{3}{A M}$ .

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抽取件数（件）	50	100	200	500	800	1000
合格频数	47	95	188	480	763	949
合格频率	0.94	0.95	0.94	0.96	0.95	0.95