浙江省杭州市滨江区2022—2023学年九年级上学期数学期末考试卷

试卷更新日期：2023-03-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. “明天下雨”这个事件是（）

A、确定事件 B、必然事件 C、不可能事件 D、不确定事件

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2. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则下列式子中正确的是（）

A、 $a ： b = 4 ： 9$ B、 $a ： b = 4 ： 6$ C、 $a ： b = (a + 2) ： (b + 2)$ D、 $a ： b = 3 ： 2$

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3. 将抛物线 $y = - x^{2}$ 向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = - {(x + 2)}^{2}$ B、 $y = - {(x + 2)}^{2} + 2$ C、 $y = - {(x - 2)}^{2} + 2$ D、 $y = - {(x - 2)}^{2}$

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4. 已知一个扇形的面积是 $24 π$ ，弧长是 $2 π$ ，则这个扇形的半径为（）

A、24 B、22 C、12 D、6

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5. 已知二次函数 $y = (m - 2) x^{2}$ （ $m$ 为实数，且 $m \neq 2$ ），当 $x \leq 0$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 0$ B、 $m > 2$ C、 $m > 0$ D、 $m < 2$

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中，点 $C$ 是 $A B$ 上一点，若 $∠ A C B = m$ ，则 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $m$ B、 $180 ° - m$ C、 $360 ° - m$ D、 $360 ° - 2 m$

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，边 $A C$ ， $A B$ 上的中线 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $F$ ，若 $A C = 6$ ， $B C = 4$ ，则 $B F =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{13}}{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ， $∠ A B E = ∠ A E D$ ，且 $A B = 6$ ， $A C = 9$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、 $9 - 3 \sqrt{6}$ B、4 C、5 D、 $3 \sqrt{6}$

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9. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，且 $A C = B C$ ， $A O$ 的延长线交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $△ A B E$ 与 $△ A B C$ 相似，则 $∠ A B C =$ （）.

A、 $55 °$ B、 $65 °$ C、 $67.5 °$ D、 $72 °$

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + 4 x + 1$ （ $a$ 为实数，且 $a < 0$ ），对于满足 $0 \leq x \leq m$ 的任意一个 $x$ 的值，都有 $- 2 ≤ y ≤ 2$ ，则 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

11. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是.

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12. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据：
抛掷总次数
100
200
300
400
杯口朝上频数
20
42
66
88
杯口朝上频率
0.2
0.21
0.22
0.22
则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为（结果精确到0.01）.

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13. 如图，正 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 的半径为10，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的弧长为.

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14. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线 $y = 2 x^{2}$ 相同，它的顶点坐标为 $(1 ， - 3)$ ，则该二次函数的表达式为.

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15. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ B D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $C O = \sqrt{3}$ ， $C E = 1$ ，则 $B E$ 的长为.

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16. 如图，正五边形 $A B C D E$ 的对角线 $A C$ 和 $A D$ 分别交对角线 $B E$ 于点 $M$ ， $N$ ，若 $△ A M N$ 的面积为 $s$ ，则正五边形 $A B C D E$ 的面积为（结果用含 $s$ 的代数式表示）.

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三、解答题

17. 一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球.

(1)、从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率.

(2)、从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率.

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18. 如图是一个管道的横截面，圆心 $O$ 到水面 $A B$ 的距离 $O D$ 是3，水面宽 $A B = 6$ .

(1)、求这个管道横截面的半径.

(2)、求 $∠ A O B$ 的度数.

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19. 如图，把一个矩形 $A B C D$ 划分成三个全等的小矩形.

(1)、若原矩形 $A B C D$ 的长 $A B = 6$ ，宽 $B C = 4$ .问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.

(2)、若原矩形的长 $A B = a$ ，宽 $B C = b$ ，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长 $a$ 与宽 $b$ 应满足的关系式.

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20. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为6 $m$ ，桥洞的跨度为12 $m$ ，如图建立直角坐标系.

(1)、求这条抛物线的函数表达式.

(2)、求离对称轴2 $m$ 处，桥洞离水面的高是多少 $m$ ？

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21. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A E$ 交 $A B$ 边上的中线 $C D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $△ A C F ∽ △ A B E$ .

(2)、若 $A F = 2$ ，求 $A E$ 的长.

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22. 二次函数 $y = x^{2} - b x + c$ 的图像经过 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(1 ， y_{2})$ 两点.

(1)、当 $b = 1$ 时，判断 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小.

(2)、当 $y_{1} < y_{2}$ 时，求 $b$ 的取值范围.

(3)、若此函数图象还经过点 $(m ， y_{1})$ ，且 $1 < b < 2$ ，求证： $3 < m < 4$ .

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23. 如图1，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为弦， $C D$ 为直径，且 $A B ⊥ C D$ 于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ A D$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ .连接 $A C$ ， $B O$ .

(1)、求证： $∠ C A E = ∠ A D C$ .

(2)、若 $D E = 2 O E$ ，求 $\frac{D F}{D E}$ 的值.

(3)、如图2，若 $B O$ 的延长线与 $A C$ 的交点 $G$ 恰好为 $A C$ 的中点，若 $⊙ O$ 的半径为 $r$ .求图中阴影部分的面积（结果用含 $r$ 的代数式表示）.

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抛掷总次数	100	200	300	400
杯口朝上频数	20	42	66	88
杯口朝上频率	0.2	0.21	0.22	0.22