福建省南平市2022-2023学年九年级下学期教学质量第一次抽测数学试卷

试卷更新日期：2023-03-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. “翻开北师大版数学七年级下册课本，恰好翻到第88页”，这个事件是（）

A、确定事件 B、必然事件 C、不可能事件 D、随机事件

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2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列函数中，是二次函数的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = \frac{3}{x}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = x - 2$

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4. 已知 $x = 1$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} + x - m = 0$ 的一个根，则m的值是（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，若 $∠ B C A = 50 °$ ，则 $∠ B D A$ 等于（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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6. 用配方法解方程x²－4x＋1＝0，变形正确的是（）

A、(x＋2)²＝5 B、(x－2)²＝5 C、(x＋2)²＝3 D、(x－2)²＝3

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7. 对于二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ 的图象，下列说法正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是 $x = - 1$ C、顶点坐标是 $(1 ， 1)$ D、当 $x = 1$ 时， $y$ 有最大值是1

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8. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深 $D E = 1$ 寸，锯道 $A B = 1$ 尺（1尺 $= 10$ 寸），则这根圆柱形木材的直径是（）

A、12寸 B、13寸 C、24寸 D、26寸

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 135 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转得到 $△ D E C$ ，点A，B的对应点分别为D，E.当点 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）

A、 $△ A B C ≌ △ D E C$ B、 $A E = A B + C D$ C、 $A D = \sqrt{2} A C$ D、 $A B ⊥ A E$

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10. 二次函数 $y = x^{2}$ 的图象上有两个不同的点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，给出下列推断：
① 对任意的 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ；② 对任意的 $x_{1} + x_{2} = 0$ ，都有 $y_{1} = y_{2}$ ；③ 存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $x_{1} + x_{2} = 0$ ，且 $y_{1} + y_{2} = 0$ ；④ 对于任意的正实数 $t$ ，存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $| x_{1} - x_{2} | = 1$ ，且 $| y_{1} - y_{2} | = t$ .
以上推断中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 点P（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．

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12. 写出一个关于x的一元二次方程，此方程可以为.

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13. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的锁率稳定在0.5附近，则袋子中红球约有个.

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14. 某科技有限公司为了鼓励员工创新，计划逐年增加研发资金投入，已知该公司2020年全年投入的研发资金为200万元，2022年全年投入的研发资金为288万元，设平均每年增长的百分率为x，可列方程为.

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15. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸（阴影）部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积等于 $c m^{2}$ .

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点A在反比例函数 $y = \frac{12}{x}$ 第一象限的图象上，点B在x轴的正半轴上，若 $△ O A B$ 是等腰三角形，且腰 $O A$ 长为5，则 $A B$ 的长为多少？现给出以下四个结论：① $A B = 5$ ；② $A B = 2 \sqrt{5}$ ；③ $A B = \sqrt{10}$ ；④ $A B = 2 \sqrt{3}$ ，其中正确的是.（只填正确的序号）

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三、解答题

17. 解方程
$x^{2} - 2 x = 0$

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18. 如图， $△ O B C$ 的顶点坐标分别为 $O (0 ， 0)$ ， $B (3 ， 3)$ ， $C (1 ， 3)$ .将 $△ O B C$ 绕原点O逆时针旋转 $90 °$ 的图形得到 $△ O B_{^{1}} C_{^{1}}$ .

(1)、画出 $△ O B_{^{1}} C_{^{1}}$ 的图形；

(2)、将点 $P (m ， 2)$ 绕原点O逆时针旋转 $90 °$ ，求点 $P$ 旋转后对应点 $P_{^{1}}$ 的坐标.（用含m的式子表示）

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19. 某校开展经典诵读活动，章老师推荐了4种不同的名著A，B，C，D.甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的.

(1)、甲同学选中名著A的概率是；

(2)、请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位恰好选同一种名著的概率.

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20. 如图，一次函数 $y = x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于点A，B两点，点B的坐标为 $(- 4 ， - 2)$ .

(1)、分别求出一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、已知点 $C$ 坐标为 $(2 ， 0)$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 某商场销售一款商品，每件成本为50元，现在的售价为每件100元，每月可卖出50件.销售人员经调查发现：如调整价格，每降价1元，则每月可多卖出5件.

(1)、求出该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围）

(2)、若该商品每月的销售利润为4000元，为了让顾客获得更多的实惠，应如何定价.

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22. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k - 1) x + \frac{1}{4} k^{2} + 1 = 0$ .

(1)、当 $k$ 为何值时，方程有两个实数根：

(2)、若方程两个根m，n，满足 $(m - 1) (n - 1) = 11$ ，则 $k$ 的值为多少？

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23. 如图， $A B$ 为圆O的直径，在直径 $A B$ 的同侧的圆上有两点C，D， $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{C D}$ ，弦 $C E$ 平分 $∠ A C B$ 交 $B D$ 于点F.

(1)、已知 $\overset{⌢}{A C} = 2 \overset{⌢}{C B} ， A B = 6$ ，求 $\overset{⌢}{B C}$ 的长：（结果保留π）

(2)、求证： $E F = E B$ .

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24. 在五边形 $A B C D E$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $△ A D E$ 是以E为直角顶点的等腰直角三角形. $C E$ 与 $A D$ 交于点G，将直线 $E C$ 绕点E顺时针旋转 $45 °$ 交 $A D$ 于点F.

(1)、求证： $∠ A E F = ∠ D C E$ ；

(2)、判断线段 $A B$ ， $A F$ ， $F C$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、若 $F G = C G$ ，且 $A B = 2$ ，求线段 $B C$ 的长.

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25. 如图1，抛物线 $y = x^{2} - 4 x$ 与x轴相交于原点O和点A，直线 $y = x$ 与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点.

(1)、求点B和点C的坐标；

(2)、抛物线上是否存在点D，使得 $∠ D O B = ∠ O B C$ ？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线 $O B$ 下方的抛物线上的动点， $E F$ 与直线 $O B$ 交于点G.设 $△ B F G$ 和 $△ B E G$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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