黑龙江省大庆市龙凤区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-03-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 四个数0，1， $\sqrt{2}$ ， $\frac{1}{2}$ 中，无理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）

A、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ B、1，1， $\sqrt{2}$ C、6，8，10 D、 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$

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3. 下列式子中，为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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4. 利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA=5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $\sqrt{29}$ C、7 D、29

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5. 下列各式中正确的是（）

A、 $\sqrt{16} = \pm 4$ B、 $\sqrt[3]{- 27} = - 9$ C、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ D、 $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

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6. 已经x，y为实数，且 $\sqrt{x + 2} + {(y - 4)}^{2} = 0$ ，则x+y的值为（）．

A、-2 B、-8 C、2 D、8

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7. 若n是任意实数，则点N(-1，n²+1)在第（）象限.

A、一 B、二 C、三 D、四

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8. $\sqrt{12}$ 与最简二次根式 $5 \sqrt{a + 1}$ 是同类二次根式，则a的值为（）

A、11 B、3 C、2 D、5

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9. 如图，在四边形 $A B D E$ 中， $A B$ $∥$ $D E$ ， $A B ⊥ B D$ ，点 $C$ 是边 $B D$ 上一点， $B C = D E = a$ ， $C D = A B = b$ ， $A C = C E = c$ ．下列结论：① $△ A B C ≌ △ C D E$ ；② $∠ A C E = 90 °$ ；③四边形 $A B D E$ 的面积是 $\frac{1}{2} {(a + b)}^{2}$ ；④ $\frac{1}{2} {(a + b)}^{2} - \frac{1}{2} c^{2} = 2 \times \frac{1}{2} a b$ ；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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10. 如图， $△ O A_{1} A_{2}$ 为等腰直角三角形，OA₁＝1，以斜边OA₂为直角边作等腰直角三角形OA₂A₃ ，再以OA₃为直角边作等腰直角三角形OA₃A₄ ， …，按此规律作下去，则OA_n的长度为（）

A、（ $\sqrt{2}$ ）ⁿ B、（ $\sqrt{2}$ ）ⁿ^﹣¹ C、（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）ⁿ D、（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）ⁿ^﹣¹

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二、填空题

11. 点 $P (- 3 ， 2)$ 关于x轴对称点M的坐标为.

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12. 比较大小： $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ．

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13. $\sqrt{\frac{1}{81}}$ 的算术平方根为.

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14. 如图，已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ，$ $A B = 12$ ，分别以 $A C ， B C$ 为直径作半圆，面积分别记为 $S_{1} 、 S_{2} ，$ 则 $S_{1} + S_{2}$ 等于．

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15. 如图，长方体的底面边长均为3 cm，高为5 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要cm.

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16. 已知5+ $\sqrt{11}$ 的整数部分为a，5- $\sqrt{11}$ 的小数部分为b，则a+b的值为

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17. 如图，正方形ABCD是出四个全等的角三角形围成的，若 $A E = 5$ ， $B E = 12$ ，则EF的长为。

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18. 如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，BC⊥y轴， $∠ B = 90 °$ ，点B的坐标为 $(1 ， 3)$ ．将△ABC沿AC折叠得到△ADC，点B落在点D的位置，AD交y轴于点E，则点D的坐标为．

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三、解答题

19. 计算

(1)、 $(\sqrt{75} - \sqrt{15}) \div \sqrt{3}$ ；

(2)、 ${(2 \sqrt{3} - 1)}^{2} + (\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 2)$ ；

(3)、 $\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{1 \frac{1}{3}}$ ．

(4)、 $\frac{2}{3} \sqrt{9 x} + 6 \sqrt{\frac{x}{4}} - 2 x \sqrt{\frac{1}{x}}$

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20. 如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8.

(1)、求∠ADB的度数；

(2)、求BC的长.

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21. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简： $\sqrt{b^{2}} - | a - b | + \sqrt{{(c - a)}^{2}} - | c |$

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22. 已知点 $A (a - 3 ， a^{2} - 4)$ ，求分别满足下列条件的a的值及点A的坐标．

(1)、点A在x轴上；

(2)、点A在y轴上；

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23. 某公司的大门如图所示，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB＝2.3m，BC＝2m，现有一辆装满货物的卡车，高为2.5m，宽为1.6m，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由．

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24. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 1)$ 、 $B (4 ， 2)$ 、 $C (3 ， 4)$ ．

(1)、若 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与△ABC关于y轴成轴对称，则 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点坐标分别为： $A_{1}$ ， $B_{1}$ ；

(2)、若P为y轴上一点，则 $P A + P B$ 的最小值为；

(3)、计算 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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25. 阅读与思考
两点之间的距离公式
如果数轴上的点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别表示实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，两点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 间的距离记作 $| A_{1} A_{2} |$ ，那么 $| A_{1} A_{2} | = | x_{2} - x_{1} |$ ．
对于平面上的两点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 间的距离是否有类似的结论呢？
运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式．

(1)、如图，平面上两点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，求A，B两点之间的距离 $| A B |$ ？

(2)、如图，平面上两点 $A (1 ， 2)$ ， $B (5 ， 5)$ ，求这两点之间的距离 $| A B |$ ？

(3)、一般地，设平面上任意两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，如图，如何计算A，B两点之间的距离 $| A B |$ ？
对于问题3，作 $A A' ⊥ x$ 轴， $B B' ⊥ y$ 轴，垂足分别为点 $A'$ ， $B'$ ；作 $A A'' ⊥ y$ 轴，垂足为 $A''$ ；作 $B C ⊥ A A'$ ，垂足为点C，且延长BC与y轴交于点 $B''$ ，则四边形 $B B' A' C$ ， $A C B'' A''$ 是长方形．
∵ $| C A | =$ ， $| C B | =$ ，
∴ ${| A B |}^{2} = {| C B |}^{2} + {| C A |}^{2} =$ ．
∴ $| A B | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ ．
这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．

(4)、思考求下列两点之间的距离：
$A (- 1 ， 2)$ ， $B (- 5 ， - 6)$ ；

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26. 【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$
解： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
材料二：化简 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 的方法：如果能找到两个实数m，n，使 $m^{2} + n^{2} = a$ ，并且 $m n = b$ ，
那么 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}} = \sqrt{m^{2} + n^{2} \pm 2 m n} = \sqrt{{(m \pm n)}^{2}} = m \pm n$
例如：化简 $\sqrt{3 \pm 2 \sqrt{2}}$
解： $\sqrt{3 \pm 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + 1^{2} + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(\sqrt{2 + 1})}^{2}} = \sqrt{2} + 1$

(1)、【理解应用】
填空：化简 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ 的结果等于；

(2)、计算：
① $\sqrt{7 - 2 \sqrt{10}}$ ；
② $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2018} + \sqrt{2017}} + \frac{1}{\sqrt{2019} + \sqrt{2018}}$ ．

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27. 如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴上、y轴上，CB//OA，OA=8，若点B的坐标为（a，b），且b= $\sqrt{a - 4} + \sqrt{4 - a} + 4$ .

(1)、直接写出点A、B、C的坐标；

(2)、若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分停止运动，求P点运动时间；

(3)、在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点Q，连接PQ，使三角形CPQ的面积与四边形OABC的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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28. 已知 $△ A O B$ 和 $△ M O N$ 都是等腰直角三角形 $(\frac{\sqrt{2}}{2} O A < O M = O N)$ ， $∠ A O B = ∠ M O N = 90^{°}$ .

(1)、如图1：连 $A M ， B N$ ，求证： $△ A O M ≌ △ B O N$ ；

(2)、若将 $△ M O N$ 绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在 $A B$ 边上时，求证： $B N^{2} + A N^{2} = 2 O N^{2}$ ；
②当点 $A ， M ， N$ 在同一条直线上时，若 $O B = 4 ， O N = 3$ ，请直接写出线段 $B N$ 的长.

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