广东省湛江市经济开发区2022年中考模拟数学试题

试卷更新日期：2023-03-07 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 若点 $P (m - 1, 5)$ 与点 $Q (3, 2 - n)$ 关于原点成中心对称，则 $m + n$ 的值是（　　）

A、1 B、3 C、5 D、7

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 6 x - 10 = 0$ 配方后可变形为（）

A、 $(x + 3)^{2} = 1$ B、 $(x - 3)^{2} = 1$ C、 $(x + 3)^{2} = 19$ D、 $(x - 3)^{2} = 19$

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3. 下列对二次函数y=x²﹣x的图象的描述，正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是y轴 C、经过原点 D、在对称轴右侧部分是下降的

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4.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（　　）

A、sinA= $\frac{12}{13}$ B、cosA= $\frac{12}{13}$ C、tanA= $\frac{5}{12}$ D、tanB= $\frac{12}{5}$

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5. 若关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + x + 1 = 0$ 有两个实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k \leq \frac{5}{4}$ B、 $k ＞ \frac{5}{4}$ C、 $k ＜ \frac{5}{4} 且 k \neq 1$ D、 $k \leq \frac{5}{4} 且 k \neq 1$

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6. 已知抛物线y=x²-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m²-m+1的值为（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、2

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7.
如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥.那么这个圆锥的底面圆的半径是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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9. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（）

A、70° B、60° C、55° D、35°

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10. 如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE，连接CE、DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF．有如下结论：①DN=EN；②△ABF～△ECD；③tan∠CDE= $\frac{1}{3}$ ；④ $S_{四边形 B E F M} = 2 S_{△ C M F}$ ，其中正确的是（）

A、①②③④ B、①②③ C、①③④ D、①②④

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系中， $△ A B O$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 2, 4), B (- 4, 0), O (0, 0)$ ．以原点 $O$ 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $△ C D O$ ，则点 $A$ 的对应点 $C$ 的坐标是．

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12. 计算6sin45°－2cos60°= ．

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13. 将抛物线y＝﹣2x²+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为.

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14. 如果 $a ： b = 3 ： 2$ ，那么 $\frac{a}{a + b} =$ ．

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $M 、 N$ 分别为 $A C ， B C$ 的中点.若 $S_{Δ C M N} = 1$ ，则 $S_{四边形 A B N M} =$ ．

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16. 如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA₁ ，扫过的面积记为S₁ ， A₁A₂⊥OA₁交x轴于点A₂；将OA₂绕点O顺时针旋转45°到OA₃ ，扫过的面积记为S₂ ， A₃A₄⊥OA₃交y轴于点A₄；将OA₄绕点O顺时针旋转45°到OA₅ ，扫过的面积记为S₃；…；按此规律，则S₂₀₂₁为．

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三、解答题

18. 用适当的方法解方程：x²-3x-4＝0

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19. 如图，已知抛物线y＝-x²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点．

(1)、求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)、当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；

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20. 如图，在 $△$ ABC中，点D在BC上， $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} ， ∠ B A D = ∠ C A E$ ．

(1)、求证： $△ B A C ∼ △ D A E$ ；

(2)、当∠B＝40°时，求∠ACE的大小．

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21. 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．

(1)、用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧 $B C$ 的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求BC的长．

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22. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0$ .

(1)、求证：无论 $k$ 为任何实数，此方程总有两个实数根；

(2)、若方程的两个实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{4}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若 $R t$ △ $A B C$ 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $R t Δ$ $A B C$ 的内切圆半径.

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23. 2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱．某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件80元销售，一个月能售出100件；销售单价每降1元，月销售量就增加5件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：

(1)、设每件玩具的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．直接写出y与x的函数关系式；

(2)、设该商店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)、该商店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定吉祥物玩具的销售单价？

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24. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 6 ， B C = 8$ ，AD平分 $∠ B A C$ ，AD交BC于点D， $E D ⊥ A D$ 交AB于点E， $Δ A D E$ 的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．

(1)、求证：BC是⊙O的切线；

(2)、求⊙O的半径r及 $∠ 3$ 的正切值．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， $A C = \sqrt{10}$ ， $O B = O C = 3 O A$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大.求出点P的坐标

(3)、在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q.使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在.请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

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