广西壮族自治区贵港市桂平市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数 $y = \frac{3}{x}$ ，自变量x的取值范围是（）

A、 $x < 0$ B、 $x > 0$ C、 $x$ 取任意实数 D、 $x \neq 0$ 的一切实数

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2. 如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 对于函数 $y = - 2 {(x - m)}^{2}$ 的图像，下列说法不正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是 $x = m$ C、最大值为0 D、与y轴不相交

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4. 已知一组数据：3，4，5，6，5，7．那么这组数据的方差是（　　）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 若点 $(- 1, y_{1}), (2, y_{2}), (3, y_{3})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（　　）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$

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6. 如图， $⊙ O$ 的半径 $O B$ 为 $4$ ， $O C ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，则 $O D$ 的长是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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7. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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8. 如图，某超市电梯的截面图中， $A B$ 的长为15米， $A B$ 与 $A C$ 的夹角为 $α$ ，则高 $B C$ 是（）

A、 $15 s i n α$ 米 B、 $15 c o s α$ 米 C、 $\frac{15}{s i n α}$ 米 D、 $\frac{15}{c o s α}$ 米

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9. 学校计划在长为12m，宽为9m矩形地块的正中间建一座劳动实践大棚．大棚是占地面积为88m²的矩形．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为（）

A、1.8m B、1.5m C、1m D、0.5m

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10. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S_四边形_BCFE=16，则S_△_ABC=（）

A、16 B、18 C、20 D、24

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11. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

A、 $π + \sqrt{3}$ B、 $π - \sqrt{3}$ C、2 $π - \sqrt{3}$ D、2 $π - 2 \sqrt{3}$

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 与一次函数 $y = - c x + b$ 在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. sin30°的值为．

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14. 二次函数 $y = 2 (x - 2)^{2} - 3$ 的顶点坐标是.

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15. 某市教育局为了解该市2.5万名九年级学生的身体素质情况，随机抽取了1000名九年级学生进行检测.已知被检测学生的身体素质达标率为 $95 %$ ，请据此估计该市九年级学生中身体素质达标的学生人数是人.

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16. 若m是方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的一个根，则 $6 m^{2} - 9 m + 2023$ 的值为.

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17. 如图，已知扇形 $A C B$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，以 $B C$ 为直径作半圆O，过点O作 $A C$ 的平行线，分别交半圆O，弧 $A B$ 于点 $D 、 E$ ，若扇形 $A C B$ 的半径为8，则图中阴影部分的面积是.

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18. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴正半轴交于 $A ， B$ 两点，y轴负半轴交于点C.若点 $B （ 4 ， 0 ）$ ，则下列结论中： $①$ $a b c > 0$ ； $②$ $4 a + b > 0$ ； $③$ $M (x_{1} ， y_{1})$ 与 $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ； $④$ 若抛物线的对称轴是直线 $x = 3$ ， m为任意实数，则 $a (m - 3) (m + 3) \leq b (3 - m)$ ； $⑤$ 若 $A B \geq 3$ 则 $4 b + 3 c > 0$ 其中正确结论的个数共有个.

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三、解答题

19. 计算：|﹣4|+3tan60°﹣ $\sqrt{12}$ ﹣（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣¹

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20. 解方程： $2 x (x - 1) + 3 = 3 x$

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21. 如图，在四边形ABCD中，已知 $∠ C A D = 9 0^{∘}$ ， AE平分∠BAC，且 $∠ D C A = \frac{1}{2} ∠ C A B$ ， $A D ∥ B C$ .

(1)、求证： $Δ A C E ≅ Δ C A D$ ；

(2)、尺规作图：过点E作垂线 $E F ⊥ A B$ ，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；

(3)、在（2）的条件下，已知四边形AECD面积为12， $A C = 4$ ，直接写出线段EF的长.

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22. 《城镇污水处理厂污染物排放标准》中硫化物的排放标准为 $1.0 m g / L$ .某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测.据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为 $5 m g / L$ ；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度 $y (m g / L)$ 是监测时间x（小时）的反比例函数，其图象如图所示.

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为 $m g / L$ ；

(3)、按规定所排污水中硫化物的浓度不超过 $0.8 m g / L$ 时，才能解除实时监测，此次整改实时监测的时间至少为多少小时？

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23. 广州市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，问卷调查的结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：
等级
非常了解
比较了解
基本了解
不太了解
频数
40
120
36
4
频率
0.2
m
0.18
0.02

(1)、本次问卷调查抽取的样本容量为；表中m的值；

(2)、根据表中数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数，并补全该扇形统计图；

(3)、若该校有1500名学生，请根据调查结果，估算这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约有多少.

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $B C$ 于点D，过点D作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为点E，交 $A B$ 的延长线于点F.

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $t a n ∠ A B D = \frac{4}{3}$ ，求 $B F$ 的长.

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与x轴交于 $A （ - 1 ， 0 ）$ ， $B （ 3 ， 0 ）$ 两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、请在y轴上找一点M，使 $△ B D M$ 的周长最小，求出点M的坐标；

(3)、试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点 $A ， P ， C$ 为顶点， $A C$ 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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26. 综合与时间
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明.

(1)、数学思考：请解答上述问题.

(2)、问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，求 $\frac{B F}{C G}$ 的值.

(3)、问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出 $△ C E G$ 的面积.

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等级	非常了解	比较了解	基本了解	不太了解
频数	40	120	36	4
频率	0.2	m	0.18	0.02