2023年江苏省南京市中考数学风向标模拟试题一

试卷更新日期：2023-03-07 类型：中考模拟

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一、单选题（每题2分，共12分）

1. 下列运算正确的是（）

A、 $2 m - m = 1$ B、 $m^{2} · m^{3} = a^{6}$ C、 ${(m n)}^{2} = m^{2} n^{2}$ D、 ${(m^{3})}^{2} = m^{5}$

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2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $a > - 2$ B、 $a + 3 > c$ C、 $- a > b$ D、 $a b < a c$

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3. 如图，在数轴上 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点中，点 $C$ 最可能表示的实数是（）.

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $∠ C = 30 °$ ， $⊙ O$ 的半径为 $2 c m$ ，若点P是 $⊙ O$ 上的一点， $P B = A B$ ，则 $P A$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{2} c m$ B、 $2 \sqrt{3} c m$ C、 $\sqrt{3} c m$ D、 $2 c m$

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5. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且AD = 1，BD = 5，AE = 2，∠AED = ∠B，则AC的长是（）

A、2.4 B、2.5 C、3 D、4.5

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6. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E$ 是正方形内部一点，连接 $E A$ ， $E B$ 满足 $∠ E A B = ∠ E B C$ ，点 $P$ 是 $B C$ 边上一动点，连结 $P D$ ， $P E$ .则 $P D + P E$ 长度的最小值为（）

A、 $\sqrt{13} - 1$ B、 $2 \sqrt{5} - 1$ C、 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{15} - 1$

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二、填空题（每题2分，共20分）

7. 当x满足时， $\frac{\sqrt{1 + x}}{x}$ 在实数范围内有意义.

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8. “学中共党史，庆建党百年”，截至4月26日，某市党员群众参与答题次数达8420000次，掀起了党史学习竞赛的热潮，数据“8420000”用科学记数法可表示为．

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9. 分解因式： $a^{3} b + 2 a^{2} b^{2} + a b^{3} =$ ；分式方程： $\frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x - 2} = 1$ 解为．

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10. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 7 = 0$ 的两根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4 x_{1} x_{2}$ 的值为．

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11. 计算： $\sqrt{27} - \frac{6}{\sqrt{3}}$ =。

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12. 为了解我市城区居民日常出行方式的情况．某学习小组进行了问卷调查，共收回600份调查问卷，结果统计如下：

出行方式

坐公交车

骑自行车、电动车

开私家车

坐单位班车

人数

280

240

65

15

根据以上调查结果，在制作扇形统计图时，以“骑自行车、电动车”为出行方式所在扇形的圆心角的度数为．

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13. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是．

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14. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A ， C$ 分别在 $y$ 轴、 $x$ 轴的正半轴上， $D$ 为 $A B$ 的中点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过点 $D$ ，且与 $B C$ 交于点 $E$ ，连接 $O D$ ， $O E$ ， $D E$ ，若 $Δ O D E$ 的面积为3，则 $k$ 的值为.

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15. 在△ABC中，点D为AC边的中点， $D E ⊥ A B$ 于点E，△DEF为等边三角形，若 $B E = 3$ ， $A E = 1$ ，则DE的长为．

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16. “一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段 $A B$ ，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足 $∠ A P B = 30 °$ ，则称点P为线段 $A B$ 的“U点”，如图，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + \frac{5}{2}$ 与x轴交于点A和点B．（1）线段 $A B$ 的长度为；（2）若线段 $A B$ 的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为．

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三、解答题（共11题，共88分）

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) \leq 5 x + 8 \\ 2 x - 5 < \frac{x - 1}{2} \end{array}$ ，并写出它的所有整数解．

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18. 化简求值： $(\frac{a - 2}{a + 2} + \frac{8 a}{a^{2} - 4}) \div \frac{a^{2} + 2 a}{a - 2}$ ，其中 $a = 2022$ ；

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19. 课堂上，同学们在讨论解答数学课本50页综合运用的第9题“如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，已知∠A=∠B，求证AD=BC．”时，提出了两种解答思路：
思路1：过一个顶点作另一条腰的平行线，将梯形转化为等腰三角形和平行四边形；
思路2：过同一底上的两个顶点作另一底的垂线段，将梯形转化为直角三角形和矩形；请结合以上思路，选用一种方法证明上题．

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20. 在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到的球是红球的概率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求袋中黄球的个数；

(2)、第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，利用树状图或刘表格求两次摸到球的颜色是红色与黄色的概率.

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21. 2021年，我国粮食总产量再创新高．小刘同学登录国家统计局网站，查询到了我国2021年31个省、直辖市、自治区的粮食产量数据（万吨）．并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．反映2021年我国31个省、直辖市、自治区的粮食产量数据频数分布直方图如图（数据分成8组： $0 \leq x < 1000$ ， $1000 \leq x < 2000$ ， $2000 \leq x < 3000$ ， $3000 \leq x < 4000$ ， $4000 \leq x < 5000$ ， $5000 \leq x < 6000$ ， $6000 \leq x < 7000$ ， $7000 \leq x \leq 8000$ ）：

b.2021年我国各省、直辖市、自治区的粮食产量在 $1000 \leq x < 2000$ 这一组的是：
10928，1094.9，1231.5，1270.4，1279.9，1386.5，1421.2，1735.8，1930.3

(1)、2021年我国各省、直辖市、自治区粮食产量的中位数为万吨；

(2)、小刘同学继续收集数据的过程中，发现北京市与河南省的单位面积粮食产量（千克/公顷）比较接近，如下图所示，他将自2016年至2021年北京市与河南省的单位面积粮食产量表示出来：
（ $单位面积粮食产量 = \frac{粮食总产量}{播种面积}$ ）

自2016－2021年间，设北京市单位面积粮食产量的平均值为 ${\bar{x}}_{A}$ ，方差为 $S_{A}^{2}$ ；河南省单位面积粮食产量的平均值为 ${\bar{x}}_{B}$ ，方差为 $S_{B}^{2}$ ；则 ${\bar{x}}_{A}$ ${\bar{x}}_{B}$ ， $S_{A}^{2}$ $S_{B}^{2}$ （填写“”或“＜”）；

(3)、国家统计局公布，2021年全国粮食总产量13657亿斤，比上一年增长2.0%．如果继续保持这个增长率，计算2022年全国粮食总产量约为多少亿斤（保留整数）．

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22. 亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题：

已知某矩形长为8，宽为6，请你用虚线在下图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图

并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明： ①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形）

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23. A、B两地相距19.2km，甲、乙两人相向而行，两人的运动速度保持不变。甲从A地向B地出发，当甲运动一段时间后，乙从B地向A地出发，甲、乙两人同时运动时他们之间的距离y（km）与乙运动时间t（h）满足一次函数关系式，其图象如图所示．

(1)、根据图像求y与t的函数关系式，并求出两人的速度和；

(2)、已知甲由A地运动到B地所用时间是乙由B地运动到A地所用时间的 $\frac{6}{5}$ 倍．求甲由A地运动到B地所用时间是多少小时？

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24. 如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长 $A B = 20 c m$ ，点 $O$ 为摄像机旋转轴心， $O$ 为 $A B$ 的中点，显示屏的上沿 $C D$ 与 $A B$ 平行， $C D = 15 c m$ ， $A B$ 与 $C D$ 连接杆 $O E ⊥ A B$ ， $O E = 10 c m$ ， $C E = 2 E D$ ，点 $C$ 到地面的距离为 $60 c m$ ．若 $A B$ 与水平地面所成的角的度数为 $35 °$ ．

(1)、求显示屏所在部分的宽度；

(2)、求镜头 $A$ 到地面的距离．（参考数据： $s i n 35 ° \approx 0.574$ ， $c o s 35 ° \approx 0.819$ ， $t a n 35 ° \approx 0.700$ ，结果保留一位小数）

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25. 如图，钝角 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆，点 $D$ 为优弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点（不与 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ， $C D$ ， $A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $△ A C D$ 的内心 $F$ 恰好落在 $B C$ 上．

(1)、求证：AB∥CD；

(2)、连接 $A F$ ，求证： $A B = B F$ ；

(3)、若 $B E = 4$ ， $C E = 5$ ，求 $C F$ 的长．

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26. 把函数 $C_{1} ： y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ 的图像绕点 $P (m ， 0)$ 旋转180°，得到新函数C₂的图像，我们称 $C_{2}$ 是 $C_{1}$ 关于点P的相关函数.C₂的图像的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）.

(1)、填空：t的值为（用含m的代数式表示）.

(2)、若 $a = - 1$ ，当 $\frac{1}{2} \leq x \leq t$ 时，函数C₁的最大值为y₁ ，最小值为y₂ ，且 $y_{1} - y_{2} = 1$ ，求C₂的解析式.

(3)、当 $m = 0$ 时，C₂的图像与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）.与y轴相交于点D.把线段 $A D$ 原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段 $A^{'} D^{'}$ ，若线 $A^{'} D^{'}$ 与C₂的图像有公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

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27. 问题背景：如图1，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A E = 10$ ， $B E = 6$ ，四边形 $C D E F$ 是正方形，求图中阴影部分的面积.

(1)、发现：如图2，小芳发现，只要将 $Δ A D E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转一定的角度到达 $Δ A^{'} D^{'} E^{'}$ ，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为；（直接写出答案）

(2)、应用：如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ 于点 $E$ ，若四边形 $A B C D$ 的面积为16，试求出 $D E$ 的长；

(3)、拓展：如图4，在四边形 $A B D C$ 中， $∠ B + ∠ C = 180 °$ ， $D B = D C$ ， $∠ B D C = 120 °$ ，以 $D$ 为顶点作 $∠ E D F$ 为 $60^{°}$ 角，角的两边分别交 $A B$ ， $A C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，连接 $E F$ ，请直接写出线段 $B E$ ， $C F$ ， $E F$ 之间的数量关系.

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出行方式	坐公交车	骑自行车、电动车	开私家车	坐单位班车
人数	280	240	65	15