浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集为 $R$ ，集合 $A = [- 2 ， 2]$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 3 x \geq 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[- 2 ， 3]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [3 ， + \infty)$

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2. 函数 $f (x) = l o g_{3} x + x - 5$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(4 ， 5)$ D、 $(5 ， 6)$

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3. 已知 $a$ ， $b$ 为非零实数，则“ $0 < \frac{a}{b} < 1$ ”是“ $| a | < | b |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $y = 2 t a n (3 x + \frac{π}{6})$ 的定义域是（）

A、 ${x | x \neq \frac{π}{2} + k π ， k \in Z}$ B、 ${x | x \neq \frac{π}{12} + k π ， k \in Z}$ C、 ${x | x \neq \frac{π}{6} + \frac{k π}{3} ， k \in Z}$ D、 ${x | x \neq \frac{π}{9} + \frac{k π}{3} ， k \in Z}$

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5. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = - f (x)$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $\frac{s i n (π - α) + 2 c o s (π + α)}{s i n (\frac{π}{2} + α) + c o s (\frac{3 π}{2} + α)} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知 $x ， y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则（）

A、 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ 且 $x + y$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ 且 $x + y$ 的最小值为0 C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$ 且 $x + y$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$ 且 $x + y$ 的最小值为0

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8. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x} + \frac{m {(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1} = 6$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，其中 $m \in R$ ，则 $(x_{1} + \frac{1}{x_{1}}) (x_{2} + x_{3})$ 的值为（）

A、-6 B、-4 C、-3 D、-2

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、若 $θ$ 是锐角，则 $θ$ 是第一象限角 B、 $1 ° = \frac{π}{180} r a d$ C、若 $s i n θ > 0$ ，则 $θ$ 为第一或第二象限角 D、若 $θ$ 为第二象限角，则 $\frac{θ}{2}$ 为第一或第三象限角

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10. 关于函数 $f (x) = \frac{1}{1 + c o s x}$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ B、函数 $f (x)$ 是偶函数 C、函数 $f (x)$ 是周期函数 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- π ， 0)$ 上单调递减

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11. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = x^{a} - a^{x} (x > 0)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $l o g_{3} a + l o g_{b} 3 = l o g_{3} b + l o g_{a} 4$ ，则下列关系式可能正确的是（）

A、 $\exists a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，使 $| a - b | > 1$ B、 $\exists a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，使 $a b = 1$ C、 $\forall a ， b \in (1 ， + \infty)$ ，有 $b < a < b^{2}$ D、 $\forall a ， b \in (0 ， 1)$ ，有 $b^{2} < a < b$

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三、填空题

13. 化简求值： $l o g_{4} 3 \times (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2) =$ .

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14. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，当 $x \in [- 2 ， 2]$ 时，值域为 $[- 2 ， 2]$ ，且在 $[- 2 ， 2]$ 上有两个零点，请写出一个满足上述条件的 $f (x) =$ .

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15. 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为 $100 π^{2} c m^{2}$ ，则当该纸叠扇的周长最小时， $A B$ 的长度为cm.

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16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ 内没有零点，则实数 $ω$ 的最大值是.

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四、解答题

17. 在① $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的充分不必要条件；② $A ⊆ B$ ；③ $A \cap B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合 $A = {x | m - 1 \leq x \leq m + 1}$ ，集合 $B = {x | | x | \leq 2}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若______，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = s i n x + c o s x$ ，且 $f (α) = - \frac{1}{5}$ ， $α \in (0 ， π)$ .

(1)、求 $f (- α)$ 的值；

(2)、若 $c o s (α - β) = \frac{1}{3}$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $c o s β$ .

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 (a + 1) x - a + 3$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $g (x) = f (x) - (a - 1) x^{2} + a - 3$ 在 $(0 ， 3)$ 上有零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 3]$ 上的最小值为-2，求实数 $a$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 的图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、先将函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若 $| g (x) - t | \leq 1$ 对任意的 $x \in [- \frac{5 π}{12} ， 0]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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21. 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格 $f (x)$ （单位：元）与时间 $x$ （单位：天） $(1 \leq x \leq 30 ， x \in N^{*})$ 的函数关系满足 $f (x) = 10 + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数，且 $k > 0$ ），日销售量 $g (x)$ （单位：件）与时间 $x$ 的部分数据如下表所示：
$x$
15
20
25
30
$g (x)$
105
110
105
100
设该文化工艺品的日销售收入为 $M (x)$ （单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下四种函数模型：
① $g (x) = a x + b$ ；② $g (x) = a | x - m | + b$ ；③ $g (x) = a \cdot b^{x}$ ；④ $g (x) = a \cdot l o g_{b} x$ .
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量 $g (x)$ 与时间 $x$ 的变化关系，并求出该函数的解析式；

(3)、利用问题（2）中的函数 $g (x)$ ，求 $M (x)$ 的最小值.

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22. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1} \in [k ， + \infty)$ ，都存在唯一的 $x_{2} \in (- \infty ， k)$ ，使得 $f (x_{2}) = f (x_{1})$ ，则称函数 $f (x)$ 是“ $V (k)$ 型函数”.

(1)、判断 $f (x) = x^{2} + 1$ 是否为“ $V (- 1)$ 型函数”?并说明理由；

(2)、若存在实数 $k$ ，使得函数 $g (x) = l o g_{2} (x^{2} + a x + 1)$ 始终是“ $V (k)$ 型函数”，求 $k$ 的最小值；

(3)、若函数 $h (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{a}{x} - 1 ， x \geq 1 \\ | x - a | ， x < 1 \end{array}$ ，是“ $V (1)$ 型函数”，求实数 $a$ 的取值范围.

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$x$	15	20	25	30
$g (x)$	105	110	105	100