云南省昆明市五华区2022-2023学年高一上学期数学期末学业质量监测试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3 \leq x \leq 7}$ ， $B = {x | 2 < x \leq 10}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(2 ， 7]$ B、 $(2 ， 10]$ C、 $[3 ， 7]$ D、 $[3 ， 10)$

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2. 在平面直角坐标系中，若角 $α$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，其终边经过点 $P (\frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 下列四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x^{3} (x \geq 0)$ ， $g (x) = x^{3} (x \in N)$ B、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ ， $g (x) = | x |$ C、 $f (x) = e^{l n (x + 1)}$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ D、 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ， $g (x) = 2 - \frac{1}{x + 1}$

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4. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 6$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、5 B、6 C、8 D、9

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5. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $s i n α c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\pm \frac{3}{10}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{a x}{x^{2} + b} (a ， b \in R)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体坛生活期间的薪资最多，下列方案选择错误的是（）

A、若体验7天，则选择方案① B、若体验8天，则选择方案② C、若体验9天，则选择方案③ D、若体验10天，则选择方案③

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8. 已知 $a = l o g_{2 π} π$ ， $b = l o g_{2 e} e$ ， $c = 4^{l n \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 已知 $a ， b ， c$ 为实数，则（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a + c > b + c$ C、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{b}{a - b} > \frac{c}{a - c}$

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10. 已知欧拉函数 $φ (x) (x \in N^{*})$ 的函数值等于所有不超过正整数 $x$ ，且与 $x$ 互素的正整数的个数，例如： $φ (1) = 1$ ， $φ (4) = 2$ ，则（）

A、 $φ (x)$ 是单调递增函数 B、当 $x \leq 8$ 时， $φ (x)$ 的最大值为 $φ (7)$ C、当 $x$ 为素数时， $φ (x) = x - 1$ D、当 $x$ 为偶数时， $φ (x) = \frac{x}{2}$

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11. 下列各式中，与 $c o s^{2} \frac{π}{6} - s i n^{2} \frac{π}{6}$ 相等的是（）

A、 $\frac{t a n 22.5 °}{1 - t a n^{2} 22.5 °}$ B、 $s i n \frac{π}{12} c o s \frac{π}{12}$ C、 $c o s (α - 35 °) c o s (25 ° + α) + s i n (α - 35 °) s i n (25 ° + α)$ D、 $\frac{1 - c o s^{2} 10 °}{\sqrt{2} c o s 80 ° \sqrt{1 - c o s 20 °}}$

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12. 设函数 $f (x) = l n | x + 2 | - l n | x - 2 |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$ B、 $f (x)$ 的值域为 $R$ C、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 2)$ 单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 单调递减

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三、填空题

13. 一个扇形的弧长和面积都为1，则此扇形的圆心角的弧度数为.

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14. 使命题“ $\forall x \in R$ ， $k x^{2} + k x + 1 > 0$ ”为真命题的一个充分条件是.

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15. 函数 $f (x) = (l o g_{4} \frac{x^{2}}{2}) \cdot (l o g_{\frac{1}{2}} \frac{x}{8})$ 的最大值为.

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 0)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，若 $f (1) = 0$ ，则不等式 $x f (x) < 0$ 的解集为.

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四、解答题

17. 化简求值：

(1)、 ${(\frac{4}{9})}^{- \frac{1}{2}} + l g 2 + l g 5 - 2^{l o g_{3} 1}$ ；

(2)、 $s i n \frac{7}{6} π + c o s \frac{11}{3} π + t a n \frac{13}{4} π$ .

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x} ， x \geq 2 \\ x^{2} - 3 ， x < 2 \end{array}$ .

(1)、在所给坐标系中作出 $y = f (x)$ 的简图；

(2)、解不等式 $f (x) < \frac{1}{2}$ .

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19. 已知 $α$ 是钝角， $β$ 是锐角， $c o s (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ， $s i n (α + β) = \frac{4}{5}$ .

(1)、求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $s i n (β + \frac{π}{4})$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s^{2} x + {(s i n x + c o s x)}^{2} - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向下平移 $\sqrt{3}$ 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 时，若方程 $g (x) - m = 0$ 有两个不等的实根，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{a + 2^{x + 1}}$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ 的值，并求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、已知实数 $t$ 满足 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - 1) < 0$ ，求t的取值范围.

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22. 利用“函数零点存在定理”，解决以下问题.

(1)、求方程 ${(\frac{5}{13})}^{x} + {(\frac{12}{13})}^{x} = 1$ 的根；

(2)、设函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{x}$ ，若 $f (x_{0}) = 0$ ，求证： $f (2 x_{0}) \in (\frac{1}{2} ， 3)$ .

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