云南省昆明市嵩明县2022-2023学年高一上学期数学期末测试试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ， $t a n α = 2$ ，则 $c o s α$ 的值为（）．

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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3. 下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（　　）

A、y＝|x| B、 $y = \frac{x^{2}}{x}$ C、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $y = {(\sqrt[3]{x})}^{3}$

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4. 图中U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分表示的集合是（）

A、 $A ∩ (∁_{U} B)$ B、 $(∁_{U} A) \cap B$ C、 $∁_{U} (A \cap B)$ D、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$

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5. 已知命题 $p ： \exists x \in [0 ， + \infty)$ ， $x^{2} + x - 2 > 0$ ，则 $\neg p$ （）

A、 $\forall x \in [0 ， + ∞)$ ， $x^{2} + x - 2 \leq 0$ B、 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ ， $x^{2} + x - 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in [0 ， + \infty)$ ， $x^{2} + x - 2 \leq 0$ D、 $\exists x \in (- \infty ， 0)$ ， $x^{2} + x - 2 \leq 0$

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6. “ $x^{2} = 4$ ”是“ $x = 2$ ”成立的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $0 \leq x \leq π$ ，且 $| t a n x | \geq 1$ ，则x的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{3 π}{4} ， π]$ B、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) ∪ (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) \cup [\frac{3 π}{4} ， π]$

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8. 已知定义在实数集上的函数 $f (x)$ 是偶函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增， $f (1) = 0$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$

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二、多选题

9. $c o s (\frac{π}{4} + α) =$ （）

A、 $s i n (\frac{5 π}{4} + α)$ B、 $s i n (\frac{π}{4} - α)$ C、 $c o s (- \frac{3 π}{4} + α)$ D、 $c o s (\frac{7 π}{4} - α)$

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10. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x^{2} + y^{2} = 1$ ，当且仅当 $x = y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 取得最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $x y$ 取得最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $x + y$ 取得最大值为 $\sqrt{2}$ D、 $x + y$ 取得最小值为 $\sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + θ) (- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (- \frac{π}{3}) = 0$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 的一个单调递增区间为 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$

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12. 已知 $a \in R$ ，则关于x的方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 下列结论正确的是（）

A、若 $a \in (- \infty ， 0]$ ，则方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 有实数解 B、若方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 有实数解，则 $a \in (- \infty ， 0]$ C、若 $a \in [- \frac{4}{3} ， - \frac{1}{2}]$ ，则方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 在 $[1 ， 2]$ 上有实数解 D、若方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 在 $[1 ， 2]$ 上有实数解，则 $a \in [- \frac{4}{3} ， - \frac{1}{2}]$

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三、填空题

13. 计算： $l n 2 + l n \frac{1}{2} + 3^{- l o g_{3} 2} + {(\frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}} =$ ．

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14. $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[3.5] = 3$ ，则 $[l o g_{2} 5] + [l o g_{2} 50] =$ ．

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15. 一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为cm，振动的最小正周期为s．

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $a b + 2 a + b = 14$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b (0 < a < 1)$ 的图象经过点 $(0 ， - 1)$ ．

(1)、求实数b；

(2)、若 $f (x^{2} - 2 x) < f (3)$ ，求x的取值集合．

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18. 计算下列各式的值：

(1)、 $c o s^{2} 15 ° - s i n^{2} 15 °$ ；

(2)、 $\frac{1 + t a n 15 °}{1 - t a n 15 °}$ ；

(3)、 $s i n^{2} 10 ° + c o s^{2} 55 ° + \sqrt{2} s i n 10 ° c o s 55 °$ ．

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19. 要得到函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，可以从正弦函数 $y = s i n x$ 图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．

(1)、由 $y = s i n x$ 图象变换得到函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，写出变换的步骤和函数；

(2)、用“五点法”画出函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{7 π}{6}]$ 上的简图．

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20. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，且对 $\forall x$ ， $y > 0$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x y)$ ．

(1)、求 $f (1)$ ，并证明： $f (x) - f (y) = f (\frac{x}{y})$ ；

(2)、若当 $x > 1$ ，有 $f (x) > 0$ ，给出两个论断：①当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$ ；② $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增；请选择其中一个证明．

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21. 牛顿冷却定律是研究温度高于周围环境的物体向周围传递热量逐渐冷却时所遵循的规律，是牛顿在1701年用实验确定的，是传热学的基本定律之一．牛顿冷却定律为 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ ，其中t为时间，单位分钟， $θ_{0}$ 为环境温度， $θ_{1}$ 为物体初始温度， $θ$ 为冷却后温度，k为常数．茶水在室温下逐渐冷却的现象满足牛顿冷却定律，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．某研究人员在20℃室温下测量茶水温度，得到下表一组数据．（结果保留0.1，参考数据： $l n 2 \approx 0.7$ ， $l n 3 \approx 1.1$ ）
时间/min
0
5
水温/℃
100
50

(1)、根据以上数据求常数k；

(2)、该茶水温度降至40℃时饮用，可以产生最佳口感，大约经过多少分钟水温降为40℃？

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22. 乐音中包含着正弦函数，平时我们听到的乐音是许多个音的结合，称为复合音，复合音的产生是因为发声体在全段震动，产生基音的同时，其余各部分，如二分之一部分也在震动．某乐音的函数是 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，该函数我们可以看作是函数 $y = s i n x$ 与 $y = \frac{1}{2} s i n 2 x$ 相加，利用这两个函数的性质，我们可以探究 $f (x)$ 的函数性质．

(1)、求出 $f (x)$ 的最小正周期并写出 $f (x)$ 的所有对称中心；

(2)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的x的取值集合；

(3)、判断 $x \in [- 2 π ， 2 π]$ ，函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{4}$ 零点的个数，并说明理由．

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时间/min	0	5
水温/℃	100	50