云南省官渡区2022-2023学年高一上学期数学期末学业水平考试试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {1 ， 3 ， 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${3}$ C、 ${2 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $| x | > 1$ ”是“ $x^{2} > x$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} c o s \frac{π x}{4} ， x \leq 2 \\ 2 f (x - 2) ， x > 2 \end{array}$ 则 $f (3) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 设 $a = \sqrt[3]{8}$ ， $b = 2^{1.1}$ ， $c = l o g_{2} 3$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > b > c$

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5. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ，集合 $B = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $s i n (A - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $c o s (A + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = e^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，则函数 $y = f (x^{2} - 4 x + 3)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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8. 数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构､建筑物､国旗､绘画､优选法等美的共性与黄金分割相关，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数约0.618，该值也可用三角函数 $m = 2 s i n 18 °$ 来表示，则 $\frac{m \sqrt{4 - m^{2}}}{s i n 216 °} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、若点 $P (t a n α ， c o s α)$ 在第三象限，则α是第二象限角 B、角θ的终边与圆心在原点､半径为r的圆的交点为 $(r c o s θ ， r s i n θ)$ C、长度等于半径的 $\sqrt{3}$ 倍的弦所对的弧长为 $\frac{2 π}{3} r$ （其中r为半径） D、钟表时针走过2小时，则时针转过的角的弧度数为 $\frac{π}{3}$

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10. 已知a， $b \in R$ ，且 $a b > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ B、 $a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \frac{a + b}{2}$

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11. 将函数 $f (x) = 2 s i n ω x (\sqrt{3} c o s ω x + s i n ω x) - 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4 ω}$ 个单位长度，得函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内恰有两个最值（即最大值和最小值），则ω可能的取值为（）

A、1 B、 $\frac{7}{6}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{13}{6}$

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12. 德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 是有理数 \\ 0 ， x 是无理数 \end{array}$ ，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数 $D (x)$ 有以下四个命题，其中真命题是（）

A、函数 $D (x)$ 是奇函数 B、 $\exists x ， y \in R$ ， $D (x y) = D (x) + D (y)$ C、函数 $D (D (x))$ 是偶函数 D、 $\forall x \in R$ ， $a \in Q$ ， $D (a + x) = D (a - x)$

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三、填空题

13. 定义：角 $α$ 与 $β$ 都是任意角，若满足 $α + β = \frac{π}{2}$ ，则称α与β“广义互余”，已知 $s i n θ = - \frac{1}{2}$ ，若角 $φ$ 与角 $θ$ “广义互余”，则角 $φ =$ .（写出满足条件的一个角 $φ$ 的值即可）

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ ，则 $f (- 4) =$ .

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15. 小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程 $x^{3} - 4 x + 1 = 0$ 在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解 $x_{0}$ 所在的区间为.

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16. 已知 $f (x) = x + \frac{16}{x} - 10$ 是定义在区间 $(0 ， + ∞)$ 的函数，则函数 $f (x)$ 的零点是；若方程 $| f (x) | = m (m > 0)$ 有四个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ .

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四、解答题

17. 从① $A = {x | \frac{x - 1}{x + 1} < 0}$ ， ② $A = {x | \frac{1}{2} < {(\frac{1}{2})}^{x} < 2}$ ， ③ $A = {x | l o g_{2} (x + 1) < 1}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答．
问题：已知集合____，集合 $B = {x | a - 2 \leq x \leq 2 a + 1}$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求 $A \cup B$ ， $A ∩ (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数a的取值范围．

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18. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则曼哈顿距离为： $d (A ， B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，余弦相似度为： $c o s (A ， B) = \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} + \frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{y_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，余弦距离为 $1 - c o s (A ， B)$

(1)、若 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，求A，B之间的曼哈顿距离 $d (A ， B)$ 和余弦距离；

(2)、已知 $M (s i n α ， c o s α)$ ， $N (s i n β ， c o s β)$ ， $Q (s i n β ， - c o s β)$ ，若 $c o s (M ， N) = \frac{1}{5}$ ， $c o s (M ， Q) = \frac{2}{5}$ ，求 $t a n α t a n β$ 的值

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19. 给定函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ， $g (x) = - x^{2} + 4 x + 1$ ， $x \in R$ .

(1)、在同一直角坐标系中画出函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象；

(2)、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的最大者，记为 $M (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，试判断 $M (x)$ 在区间 $(- \infty ， a]$ 的单调性.

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20. 小美同学用“五点法”画函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表.
$ω x + φ$
0
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3 π}{2}$
$2 π$
x
$\frac{π}{3}$
$\frac{5 π}{6}$
$A s i n (ω x + φ)$
0
3
-3
0

(1)、请将上表数据补充完整并求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x + \frac{π}{6}) + 1$ ，求函数 $g (x)$ 的单调递增区间：

(3)、若 $g (x) = f (x + \frac{π}{6}) + 1$ ，求不等式 $g (x) ≥ \frac{5}{2}$ 成立的x的取值集合.

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21. 2022年10月31日下午，长征五号B运载火箭点火起飞，成功将中国空间站的第二个实验舱“梦天实验舱”送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．作为“空间站舱段运输专列”，长征五号B运载火箭是我国目前近地轨道运载能力最大的火箭，具有强大的“爆发力”和“带货能力”．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位： $k m / s$ ）可用公式 $v = v_{0} l n \frac{M}{m}$ 进行计算，其中 $v_{0}$ （单位： $k m / s$ ）是喷流相对速度，m（单位；吨）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位；吨）是推进剂和火箭质量的总和， $\frac{M}{m}$ 称为总质比．已知X型火箭的喷流相对速度为2 $k m / s$ .
参考数据： $l n 6.4 \approx 1.86$ ， $l n 7.4 \approx 2$ ， $1.64 < e^{0.5} < 1.65$ .

(1)、已知X型火箭的质量约为115吨，推进剂的质量约为736吨，利用给出的参考数据求X型火箭的最大速度；

(2)、经过材料更新和技术改进，X型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的 $\frac{1}{4}$ ，若要使火箭的最大速度至少增加1 $k m / s$ ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.

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22. 设 $A$ 是函数 $y = f (x)$ 定义域内的一个子集，若存在 $x_{0} \in A$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个“不动点”，也称 $f (x)$ 在区间 $A$ 上存在不动点，例如 $g (x) = 2 x - 1$ 的“不动点”满足 $g (x_{0}) = 2 x_{0} - 1 = x_{0}$ ，即 $g (x)$ 的“不动点”是 $x_{0} = 1$ .设函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + a \cdot 2^{x - 1} - 6)$ ， $x \in [1 ， 2]$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的不动点；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上不存在不动点，求实数 $a$ 的取值范围.

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$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5 π}{6}$
$A s i n (ω x + φ)$	0	3		-3	0