云南省楚雄州2022-2023学年高一上学期数学期末教育学业质量监测试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x \in N | 0 \leq x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${x | 0 \leq x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 3}$

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2. 下列各角中，与 $67 8^{∘}$ 角的终边相同的是（）

A、 $- 4 2^{∘}$ B、 $7 8^{∘}$ C、 $37 8^{∘}$ D、 $97 8^{∘}$

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3. 下列函数在 $(- 1 ， 1)$ 上为减函数的是（）

A、 $f (x) = - 2^{x}$ B、 $f (x) = | x |$ C、 $f (x) = s i n x$ D、 $f (x) = c o s x$

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4. “ $| x - 2 | \leq 3$ ”是“ $x^{2} - 3 x \leq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a = l o g_{\frac{2}{3}} 2$ ， $b = l o g_{5} 6$ ， $c = s i n 2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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6. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (x ， 3)$ ，且 $c o s θ = - \frac{4}{5}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $- \frac{15}{4}$ D、 $\frac{15}{4}$

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7. 已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，该值恰好等于 $2 s i n 1 8^{∘}$ ），则下列式子的结果不等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ 的是（）

A、 $s i n 1 0^{∘} c o s 8^{∘} + c o s 1 0^{∘} s i n 8^{∘}$ B、 $c o s 4 0^{∘} c o s 3 2^{∘} - s i n 4 0^{∘} s i n 3 2^{∘}$ C、 $s i n 10 0^{∘} c o s 2 6^{∘} + c o s 10 0^{∘} s i n 2 6^{∘}$ D、 $s i n 9 2^{∘} s i n 1 6^{∘} - c o s 9 2^{∘} c o s 1 6^{∘}$

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8. 设 $f (x)$ 是定义域为R的单调函数，且 $f (f (x) - 3 x) = 4$ ，则（）

A、 $f (- 1) = - 1$ B、 $f (0) = 1$ C、 $f (1) = 2$ D、 $f (2) = 3$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $a - 1 > b - 1$ B、若 $a < b < 1$ ，则 $a^{3} < b^{3}$ C、若 $x \neq 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \geq 2$ D、若 $x \in (0 ， π)$ ，则函数 $y = s i n x + \frac{4}{s i n x}$ 的最小值为 $4$

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10. 下列函数中，与 $y = \sqrt{x^{2}}$ 的定义域和值域都相同的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = | x |$ C、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $y = | l n x |$

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11. 将 $y = s i n x c o s x + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 2 x$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{π}{24} + \frac{k π}{2} ， \frac{5 π}{24} + \frac{k π}{2}] (k \in Z)$ C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{3 π}{4}]$ 上恰有3个零点 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{3 π}{4}]$ 上有2个最大值点，2个最小值点

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{3} ， x \leq 0 \\ f (x - 2) ， x > 0 \end{array}$ ，则（）

A、 $f (5) = - 1$ B、当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = - {(x - 2)}^{3}$ C、方程 $f (x) = 8$ 只有一个实数根 $- 2$ D、方程 $f (x) = l o g_{\sqrt{2}} x$ 有 $8$ 个不等的实数根

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三、填空题

13. 设一扇形的周长为 $12$ ，圆心角为 $4$ ，则该扇形的面积为．

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，则 $f (0) =$ ，若函数 $g (x) = f (x) + x^{2} - x$ ， $g (- 1) = 5$ ，则 $g (1) =$ ．

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15. 第二次古树名木资源普查结果显示，我国现有树龄一千年以上的古树10745株，其中树龄五千年以上的古树有5株．对于测算树龄较大的古树，最常用的方法是利用碳－14测定法测定树木样品中碳－14衰变的程度鉴定树木年龄．已知树木样本中碳－14含量与树龄之间的函数关系式为 $k (n) = k_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{n}{5730}}$ ，其中 $k_{0}$ 为树木最初生长时的碳－14含量，n为树龄（单位：年），通过测定发现某古树样品中碳－14含量为 $0.6 k_{0}$ ，则该古树的树龄约为万年．（精确到0.01）（附： $l g 3 \approx 0.48 ， l g 5 \approx 0.70$ ）．

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16. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{3 π}{2})$ 上为单调函数，则 $ω$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知幂函数 $f (x) = m^{2} \cdot x^{1 - 3 m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $(1 ， 2)$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围．

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18. 已知 $t a n \frac{α}{2} = 2$ ．

(1)、求 $t a n α$ 的值﹔

(2)、求 $\frac{s i n (\frac{π}{2} - α) c o s α + c o s^{2} (π + α)}{4 s i n (2 π + α) c o s (π - α) + 2 c o s (- α) c o s α}$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$ 的定义域为集合 $A$ ，集合 $B = {x | - a < x < 2 a - 4}$ ．

(1)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若“命题 $p$ ： $\exists x \in A$ ， $x ∈ B$ ”是假命题，求 $a$ 的取值范围．

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20. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x + 1) + 2$ ．

(1)、当 $x < 0$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (a) + f (1) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = a^{x} + a^{- x} (a > 1)$ 的定义域为 $[0 ， + ∞)$ ，其图象过点 $(1 ， \frac{5}{2})$ ， $g (x) = f (2 x) + 2 f (x)$ ．

(1)、若 $m l o g_{3} 4 = 1$ ，求 $f (m)$ 的值．

(2)、是否存在实数 $m$ ，使得 $m - 2 f (x) > g (x)$ 有解？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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22. 某地区组织的贸易会现场有一个边长为 $1$ 的正方形展厅 $A B C D$ ， $M ， N$ 分别在 $B C$ 和 $A B$ 边上，图中 $△ D M N$ 区域为休息区， $△ A D N$ ， $△ C D M$ 及 $△ B M N$ 区域为展览区．

(1)、若 $△ B M N$ 的周长为 $2$ ，求 $∠ M D N$ 的大小；

(2)、若 $∠ N D M = \frac{π}{6}$ ，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积 $S$ 最大，并求出最大值．

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