陕西省榆林市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x - 5 < 0}$ ， $B = {x | x \geq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 5}$ B、 ${x | 2 \leq x < 5}$ C、 ${x | 2 < x < 5}$ D、 ${x | x > - 1}$

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $s i n 2 x + x^{2} > 1$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $s i n 2 x + x^{2} < 1$ B、 $\exists x \in R$ ， $s i n 2 x + x^{2} \leq 1$ C、 $\forall x \in R$ ， $s i n 2 x + x^{2} > 1$ D、 $\forall x \in R$ ， $s i n 2 x + x^{2} \leq 1$

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3. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m - 2}$ 的图象经过原点，则 $m =$ （）

A、－1 B、1 C、3 D、2

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4. 已知 $\frac{3 - t a n α}{2 t a n α} = 4$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x \leq 0 \\ l o g_{2} x ， x > 0 \end{array}$ ，则“ $x = - 3$ ”是“ $f (x) = - 1$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知角 $α$ 的终边经过点 $A (x ， 2)$ ， $B (- 8 ， y)$ ，且 $y - x = 8$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7. 已知函数 $f (x) = 22 s i n 3 x$ 在 $[a ， b]$ 上的值域为 $[0 ， 11 \sqrt{3}]$ ，则 $b - a =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{18}$ C、 $\frac{π}{9}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8. 如图，一个扇形公园POQ的半径为200米，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ .现要从中规划一个四边形ABCO进行景点改造.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且 $A B ⊥ O P$ ， $B C ⊥ O Q$ ，则（）

A、该扇形公园POQ的面积为 $\frac{400 π}{3}$ 平方米 B、规划的四边形ABCO的面积最大为 $20000 \sqrt{3}$ 平方米 C、当规划的四边形ABCO面积最大时， $∠ A O B$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ D、当规划的四边形ABCO面积最大时，弧PB的长为 $\frac{200 π}{3}$ 米

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二、多选题

9. 若 $a = l o g_{3} 2 + 1$ ， $b = s i n 2.2$ ， $c = 1 . 1^{1.1} + 1$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $b < c$ C、 $a < c$ D、 $b < a$

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10. 若函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 3 s i n (4 x - \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 3 s i n (2 x + \frac{π}{12})$ C、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = 3 s i n (4 x + \frac{π}{3})$ 的图象 D、将 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数 $y = 3 s i n (8 x - \frac{π}{3})$ 的图象

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11. 函数 $f (x) = 2 x^{2} - 4 l n x - 3$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{e} ， 1)$ 内有零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{1}{e})$ 内有零点 C、 $f (x)$ 在 $(1 ， \sqrt{e})$ 内有零点 D、 $f (x)$ 在 $(e ， e^{2})$ 内有零点

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4^{x} + 2} + (2 x - 1)^{3}$ ，则（）

A、 $f (x) - f (1 - x) = \frac{1}{4}$ B、 $f (100) + f (99) + f (- 98) + f (- 99) = 1$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象与 $f (1 - x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = 2 l o g_{2} (1 7^{x} - 1) - 7$ 的定义域为.

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14. 若正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $3 x + y = 1$ ，则 $\frac{12}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为.

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15. 写出一个使函数 $f (x) = - 13 s i n (x + 5 φ - \frac{π}{3})$ 为偶函数的 $φ$ 的值：.（结果用弧度制表示）

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(- 5 ， 5)$ 上的增函数，且 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， - 1)$ 对称，则关于 $x$ 的不等式 $f (2 x + 1) + f (x - 1) + 3 x + 2 > 0$ 的解集为．

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四、解答题

17. 已知 $c o s α - 2 s i n (π - α) = 0$ ．

(1)、若 $α$ 为第一象限角，求 $s i n α ， c o s 2 α$ ；

(2)、求 $\frac{1 - s i n α c o s α}{6 s i n^{2} α - c o s^{2} α}$ 的值．

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18. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ .

(1)、若 $b = 6 - \frac{1}{a}$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的最大值；

(2)、若 $a^{2} + 9 b^{2} + 2 a b = a^{2} b^{2}$ ，证明： $a b \geq 8$ .

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求不等式 $f (x) - \sqrt{3} \geq 0$ 在 $[- \frac{2 π}{9} ， \frac{4 π}{9}]$ 上的解集．

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20. 已知 $f (x) = (2 a^{2} - 5 a - 2) l o g_{a} x$ 是对数函数.

(1)、求a的值.

(2)、函数 $g (x) = f (x^{2} + k x + 3)$ ， $x \in [0 ， 2]$ ，是否存在正实数k，使得 $g (x) = 2$ 有解？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = a^{x + 4}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），函数 $g (x - 1) = - | x - 2 | + 2$ .

(1)、设函数 $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ ，求 $h (x)$ 图象经过的定点P的坐标；

(2)、若 $f (x) > g (x)$ 恒成立，求a的取值范围.

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22. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为 $\frac{5}{2}$ 米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）.

(1)、写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式 $h (t) = A s i n (ω t + φ) + B$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）；

(2)、若盛水筒P在 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 时刻距离水面的高度相等，求 $t_{1} + t_{2}$ 的最小值.

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