广东省深圳市2022-2023学年高一上学期数学期末学试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {3 ， 5 ， 7 ， 8} ， B = {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${8}$ B、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8}$ C、 ${2 ， 4 ， 8}$ D、 ${3 ， 5 ， 7}$

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2. 命题 $p ： \forall x \in [0 ， π] ， s i n x c o s x \geq 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \notin [0 ， π] ， s i n x c o s x < 0$ B、 $\forall x \in [0 ， π] ， s i n x c o s x \leq 0$ C、 $\exists x \in [0 ， π] ， s i n x c o s x \geq 0$ D、 $\exists x \in [0 ， π] ， s i n x c o s x < 0$

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3. 已知 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{2 c o s α - s i n α}{c o s α} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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4. 荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为170°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（）

A、 $\frac{68 π}{9}$ 米 B、 $\frac{34 π}{9}$ 米 C、 $13.6$ 米 D、198米

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5. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} f (f (x + 5)) ， x < 10 \\ 2 x - 15 ， x \geq 10 \end{array}$ ，则 $f (9)$ 的值为（）

A、9 B、11 C、28 D、14

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6. 已知函数 $f (x) = l g (2 c o s x - 1)$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为（）

A、 $(2 k π - \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{π}{3}) ， k \in Z$ B、 $[2 k π - \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{π}{3}] ， k \in Z$ C、 $(2 k π - \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{π}{6}) ， k \in Z$ D、 $[2 k π - \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{π}{6}] ， k \in Z$

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7. 已知 $α \in (0 ， π) ， c o s α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $c o s (α - π) [2 s i n (α + π) + s i n (α + \frac{π}{2})] + c o s^{2} (α + \frac{3 π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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8. 设 $a = l o g_{2} 0.4 ， b = l o g_{0.3} 0.4$ ，则（）

A、 $a b < 0 < a + b$ B、 $a + b < a b < 0$ C、 $a b < a + b < 0$ D、 $0 < a + b < a b < 1$

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二、多选题

9. 若 $a > b > 0$ ，则下列不等式成立的有（）

A、 $a^{2} > b^{2} > 0$ B、 $a^{3} > b^{3} > 0$ C、 $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$ D、 $b^{2} a > a^{2} b$

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10. 下列命题为真命题的有（）

A、若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，则 $f (0) = 0$ B、函数 $f (x) = l n (x^{2} - 6 x + 5)$ 的单调递增区间为 $(- \infty ， 3)$ C、“ $α = β + 2 k π ， k \in Z$ ”是“ $s i n α = s i n β$ ”的充分不必要条件 D、当 $x > 0$ 时， $s i n x < t a n x$

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11. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{3})$ ，下列选项正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π + \frac{π}{3} ， k π + \frac{5 π}{6}] ， k \in Z$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{5 π}{6})$ 上只有一个零点 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ 的值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (1 + x) + 2$ 为奇函数， $f (2 - 2 x)$ 为偶函数， $f (4) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (0) = 0$ C、 $f (2022) = - 4$ D、 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (100) = - 200$

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三、填空题

13. $t a n \frac{7 π}{4} - s i n \frac{π}{6} =$ .

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14. 已知 $x \geq 2 a - 1$ 是 $x ≥ 3$ 的充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 函数 $f (x) = e^{x + 1} + 2 x - 10$ 的零点所在区间为 $(n ， n + 1) ， n \in Z$ ，则 $n$ 的值为. $(e \approx 2.71828)$

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16. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{3 x}{y} + \frac{1}{x y}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ .

(1)、求证： $f (x)$ 为奇函数；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 | x | - 5$ .

(1)、在下面的平面直角坐标系中，作出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、方程 $f (x) = m$ 有四个不相等的实数根，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{4})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{17 π}{24} ， - \frac{π}{4}]$ 上的最值.

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20. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ - 1 \leq l o g_{2} x \leq 6} ， B = {x ∣ \frac{a}{2} - 4 < x < 2 a - 8}$ .

(1)、若 $A \cap B = {x ∣ \frac{1}{2} \leq x < 6}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $B ⊆ A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且 $f (x) + g (x) = \frac{1}{2^{x}}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $2 g (x) + \frac{a}{2^{x}} - 1 - a \geq 0$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 如图，有一个小矩形公园 $A B C D$ ，其中 $A B = 20 m ， A D = 10 m$ ，现过点 $C$ 修建一条笔直的围墙（不计宽度）与 $A B$ 和 $A D$ 的延长线分别交于点 $E ， F$ ，现将小矩形公园扩建为三角形公园 $A E F$ .
参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732 ， \sqrt{5} \approx 2.236 ， \sqrt{15} \approx 3.873$ .
参考公式： $t a n 2 θ = \frac{2 t a n θ}{1 - t a n^{2} θ}$ .

(1)、当 $A E$ 多长时，才能使扩建后的公园 $△ A E F$ 的面积最小？并求出 $△ A E F$ 的最小面积.

(2)、当扩建后的公园 $△ A E F$ 的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示. 若要保证绿地面积不小于总面积的 $\frac{3}{4}$ ，求健步道宽度的最大值.（小数点后保留三位小数）

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