广东省汕尾市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 1 < 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 < 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 \leq 0$

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2. 集合 $A = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {x ∣ - 2 < x < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 $\emptyset$

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3. 函数 $f (x) = 3^{x} - 4$ 的零点所在区间（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(0 ， 1)$

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (m, - 6)$ ，且 $\cos α = - \frac{4}{5}$ ，则 $m =$ （）

A、8 B、 $- 8$ C、4 D、 $- 4$

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5. 托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断：下列对应是集合 $M = {- 1, 2, 4}$ 到集合 $N = {1, 2, 4, 16}$ 的函数的是（）

A、 $x \to 2 x$ B、 $x \to x + 2$ C、 $x \to x^{2}$ D、 $x \to 2^{x}$

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6. 已知 $0 < a < 1 ， b < - 1$ ，则函数 $y = a^{x} + b$ 的图像必定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若 $2^{x} = 5 ， l g 2 \approx 0.3010$ ，则 $x$ 的值约为（）

A、 $0.431$ B、 $0.430$ C、 $2.323$ D、 $2.322$

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8. 若存在正实数 $x ， y$ ，使得等式 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ 和不等式 $x + \frac{y}{4} < 3 m^{2} - m$ 都成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， \frac{4}{3})$ B、 $(- ∞ ， - 1) \cup (\frac{4}{3} ， + ∞)$ C、 $(- \frac{4}{3} ， 1)$ D、 $(- \infty ， - \frac{4}{3}) \cup (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = l g | x |$ D、 $y = c o s x$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{4}) + 1$ ，下列选项中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $f (x)$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{3 π}{8} ， \frac{7 π}{8})$ 上单调递减

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11. 下列各式比较大小，正确的是（）

A、1.7^2.5＞1.7³ B、 $(\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}} > 2^{- \frac{4}{3}}$ C、1.7^0.3＞0.9^3.1 D、 $(\frac{2}{3})^{\frac{3}{4}} > (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ；③ $f (- 1) = 0$ .则下列选项成立的是（）

A、 $f (3) > f (4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m < - 1$ 或 $m > 3$ C、若 $x f (x) > 0$ ，则 $x \in (- 1 ， 1)$ D、 $\exists m \in R$ ，使得 $f (x) \leq m$

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三、填空题

13. 计算： $l o g_{2} 6 + l o g_{2} \frac{4}{3} =$ .

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14. 已知一扇形的弧长为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径 $r = 2$ ，则弧所对的圆心角为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x + 1 ， x < 0 \\ - x^{2} + 2 x + 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间为.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + x$ 为定义在 $[2 a - 1 ， 3 - a]$ 上的奇函数，则不等式 $f (2 x + 1) + f (x - b) > 0$ 的解集为.

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四、解答题

17. 已知 $s i n α = - \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 为第三象限角.

(1)、求 $c o s α$ 和 $t a n α$ 的值；

(2)、已知 $f (α) = \frac{2 s i n (π + α) + c o s (2 π + α)}{c o s (α - \frac{π}{2}) + s i n (\frac{π}{2} + α)}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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18. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {x | x < m - 1$ 或 $x \geq m + 1}$ .

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + b x + c$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ .

(1)、求不等式 $2 c x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集；

(2)、当 $g (x) = f (x) + m x$ 在 $x \in [1 ， 3]$ 上单调时，求 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = l g (x + 1) ， g (x) = l g (1 - x) ， h (x) = f (x) + g (x)$ .

(1)、判断函数 $h (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若函数 $y = f (x) - l g \frac{k}{x}$ 在区间 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 2022年12月，某市突发病毒感染疫情，第1天､第2天､第3天感染该病毒的人数分别为 $52 ， 54 ， 58$ .为了预测接下来感染该病毒的人数，根据前三天的数据，甲选择了模型 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，乙选择了模型 $g (x) = p \cdot q^{x} + r$ ，其中 $f (x)$ 和 $g (x)$ 分别表示两个模型预测第 $x$ 天感染该病毒的人数， $a ， b ， c ， p ， q ， r$ 都为常数.

(1)、如果第4天､第5天､第6天感染该病毒的人数分别为 $66 ， 82 ， 115$ ，你认为选择哪个模型比较好？请说明理由；

(2)、不考虑其他因素，推测从第几天开始，感染该病毒的人数将会超过2000.试用你认为比较好的模型解决上述问题.（参考数据： $2^{10} = 1024 ， \sqrt{7793} \approx 88.28$ ）

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{λ x^{2} + λ x + 1} - x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数 $λ$ 的取值范围；

(2)、若不等式 $f (l n x) \leq 0$ 对任意 $x \in [e ， e^{2}]$ 都成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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