广东省揭阳市惠来县2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 关于命题“ $\exists x \in N$ ， $x^{2} + 2 x = 0$ ”，下列判断正确的是（）

A、该命题是全称量词命题，且是真命题 B、该命题是存在量词命题，且是真命题 C、该命题是全称量词命题，且是假命题 D、该命题是存在量词命题，且是假命题

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2. 设集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x (2 x + 3) \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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3. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， 16)$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $x^{4}$ B、 $x^{3}$ C、 $x^{6}$ D、 $x^{5}$

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4. 已知 $a = l n π ， b = c o s 2 ， c = 2^{- 0.1}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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5. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = {\begin{array}{l} 2023 ， x 为有理数， \\ 0 ， x 为无理数， \end{array}$ 则“ $x$ 为无理数”是“ $f (f (x)) =$ 2023”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $f (x) = \frac{2 | x | + 1}{x^{2} + 1} - 1$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3 ， l g 3 \approx 0.48$ ）

A、第5代种子 B、第6代种子 C、第7代种子 D、第8代种子

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8. 函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x}} - l o g_{2} x + 1$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a}{m} > \frac{b}{m}$ B、若 $a < b < 1$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ C、若 $x > 0$ 且 $x \neq 1$ ，则 $l n x + \frac{1}{l n x} \geq 2$ D、若正数a，b满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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10. 在单位圆中，已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $P (\frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{6}}{3})$ ，则（）

A、 $t a n α = - \sqrt{2}$ B、 $s i n (- α) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $c o s (π - α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $c o s (α - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 b x - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $f (x)$ 是偶函数，则 $b = 0$ B、若 $f (x) < 0$ 的解集是 $(- 1 ， 1)$ ，则 $a^{b} = 1$ C、若 $a = 1$ ，则 $f (x) > 0$ 恒成立 D、 $\forall a \leq 0$ ， $b < 0$ ， $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递增

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12. 函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 2 x^{2}$ ， $f (1 + x) - f (1 - x) = 8 x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $f (2) = 4$ B、 $f (3) + f (1) = 18$ C、 $y = f (x) - x^{2}$ 为奇函数 D、 $f (x + 2) + f (x) \geq 0$

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三、填空题

13. ${(\frac{1}{2})}^{- 3} - l o g_{2} 5 \times l o g_{5} 2 + l o g_{6} 2 + l o g_{6} 18 =$ .

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14. 写出一个同时具有下列性质①②的函数 $f (x)$ ：．
①对 $\forall x_{1}$ 、 $x_{2} > 0$ ， $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ；② $f (x)$ 在其定义域内单调递增．

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15. 《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台.诗里的叠扇，就是折扇.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为 $S_{1}$ ，其圆心角为 $θ$ ，圆面中剩余部分的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径 $R =$ 10，则此时的扇形面积为.

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16. 若存在实数 $a$ 、 $b \in [1 ， 9]$ ，使得函数 $f (x) = | x + \frac{9}{x} - 10 | (x > 0)$ 在区间 $[a ， b]$ 上单调递增，且 $f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的取值范围为 $[m a ， m b]$ ，则 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知非空集合 $A = {x | a - 3 < x < 2 a} ， B = {x | x^{2} - 2 x - 8 > 0}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $A ∪ (∁_{R} B)$ ．

(2)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．

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18. 已知角 $α$ 满足 $c o s α + 7 s i n α = 0$ .

(1)、若 $- \frac{π}{2} < α < 0$ ，求 $s i n α ， c o s α$ 的值；

(2)、若角 $β$ 的终边与角 $α$ 的终边关于 $x$ 轴对称，求 $\frac{s i n β - 3 c o s β}{2 s i n β + c o s β}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x$ ， $a \in (0 ， 1)$ .

(1)、若 $f (1) = 1$ ，且 $b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值；

(2)、若 $f (1) = - 1$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) + 1 > 0$ 的解集.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 l n x + {(- 1)}^{n} x^{2} + 2$ .

(1)、证明：当 $n = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上至少有两个零点；

(2)、当 $n = 2$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 在 $[1 ， 2]$ 上没有实数解，求 $m$ 的取值范围.

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21. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在两个不同的实数x，满足 $f (x) = 2^{x}$ ，则称 $f (x)$ 为“类指数函数”．

(1)、已知函数 $g (x) = \frac{1}{3^{x}} - 2$ ，试判断 $g (x)$ 是否为“类指数函数”，并说明理由；

(2)、若 $h (x) = \frac{a}{2^{x} - a - 1}$ 为“类指数函数”，求a的取值范围．

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22. 已知 $f (x) = \frac{4 x - a}{x^{2} + b}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，其中 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $f (2) = 1$ .

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明；

(3)、设 $g (x) = m x^{2} - 2 x + 2 - m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2 ， 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [0 ， 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求非负实数 $m$ 的取值范围.

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