广东省大湾区2022-2023学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 8} ， B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，将集合 $A ， B$ 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如果函数 $y = f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“ $f (a) \cdot f (b) < 0$ ”是“函数 $y = f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内有零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下列选项中与角 $α = - 3 0^{°}$ 终边相同的角是（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $24 0^{∘}$ C、 $39 0^{∘}$ D、 $33 0^{∘}$

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4. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一.考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14含量 $y$ 随时间 $x$ （单位：年）变化的数学模型： $y = y_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{5730}} (y_{0}$ 表示碳14的初始量）.2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的 $68 %$ ，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（）（参考数据： $l o g_{2} 5 \approx 2.32 ， l o g_{2} 17 \approx 4.09$ ）

A、2796年 B、3152年 C、3952年 D、4480年

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5. 若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(3 ， \sqrt{3})$ ，则 $α$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 若关于x的方程 ${(\frac{1}{4})}^{| x |} + a - 2 = 0$ 有解，则实数a的取值范围是（）

A、[0，1） B、[1，2） C、[1，+∞） D、（2，+∞）

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7. 已知 $s i n (\frac{3 π}{2} + α) = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 小雨利用几何画板探究函数 $y = \frac{a}{(x - b) | x - c |}$ 图象，在他输入一组 $a ， b ， c$ 的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（）

A、 $a > 0 ， b > 0 ， c = 0$ B、 $a < 0 ， b > 0 ， c = 0$ C、 $a > 0 ， b = 0 ， c = 0$ D、 $a < 0 ， b = 0 ， c > 0$

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二、多选题

9. 对于实数 $a ， b ， c$ ，下列命题中正确的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c < b c$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b$ C、若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ D、若 $a > b ， \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a > 0 ， b < 0$

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10. 对于函数 $f (x) = s i n 2 x$ ，下列选项中正确的有（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ D、 $f (x)$ 的最大值为2

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11. 设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为 $A (a ， b) = \frac{a + b}{2}$ ，几何平均数为 $G (a ， b) = \sqrt{a b}$ ．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即 $L_{p} (a ， b) = \frac{a^{p} + b^{p}}{a^{p - 1} + b^{p - 1}}$ ，其中p为有理数．下列结论正确的是（）

A、 $L_{0.5} (a ， b) \leq L_{1} (a ， b)$ B、 $L_{0} (a ， b) \leq G (a ， b)$ C、 $L_{2} (a ， b) \leq A (a ， b)$ D、 $L_{n + 1} (a ， b) \leq L_{n} (a ， b)$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，集合 $A = {x ∣ f (x) \leq 0}$ ，集合 $B = {x ∣ f (f (x)) \leq \frac{5}{4}}$ ，若 $A = B \neq \emptyset$ ，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} + l n x$ 的定义域是．

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14. 已知角 $α$ 为第一象限角，其终边上一点 $P (x ， y)$ 满足 $2 l n (2 x - y) = l n (x^{2} + y^{2})$ ，则 $2 c o s α -$ $s i n α =$ ．

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15. 函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{2 x} - 8 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x} + 17$ 的单调递增区间为.

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16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞) ， f (1) = 1 + e$ ，当 $x_{2} > x_{1} > 0$ 时，有 $x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2}) > x_{2} e^{x_{1}} - x_{1} e^{x_{2}}$ ，则不等式 $f (l n x) > x + l n x$ 的解集为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | a \leq x \leq 3 - 2 a}$ ．

(1)、若 $(∁_{R} A) \cup B = R$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $A ∩ B \neq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + 2^{x}} + a$

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ .

(1)、用“五点法”画出函数在一个周期内的图像：

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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20. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为 $200 m^{2}$ 的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为 $4200$ 元 $/ m^{2}$ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 $210$ 元 $/ m^{2}$ ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 $80$ 元 $/ m^{2}$ ．受地域影响，AD的长度最多能达到 $4 m$ ，其余边长没有限制．

(1)、设总价为 $S$ （单位：元），AD长为 $x$ （单位： $m$ ），试建立 $S$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、当 $x$ 为何值时， $S$ 最小？并求出这个最小值．

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21. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 $y = f (x)$ ，如果对于其定义域 $D$ 中任意给定的实数 $x$ ，都有 $- x \in D$ ，并且 $f (x) \cdot f (- x) = 1$ ，就称函数 $y = f (x)$ 为倒函数.

(1)、已知 $f (x) = 2^{x} ， g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ ，判断 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 是否为倒函数；

(2)、若 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的倒函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{2^{- x} + x^{2}}$ ，方程 $f (x) = 2023$ 是否有正整数解？并说明理由；

(3)、若 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 $R$ 上是增函数.记 $F (x) = f (x) - \frac{1}{f (x)}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 0$ 是 $F (x_{1}) + F (x_{2}) > 0$ 的充要条件.

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22. 定义函数 $φ (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \geq 0 ， \\ - 1 ， x < 0 ， \end{array}$ $f (x) = x^{2} - 2 x (x^{2} - a) φ (x^{2} - a)$ .

(1)、解关于 $a$ 的不等式： $f (1) \leq f (0)$ ；

(2)、已知函数 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， 1]$ 的最小值为 $f (1)$ ，求正实数 $a$ 的取值范围.

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