安徽省宣城市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，集合 $B = {1 ， 2}$ ，则集合 $A \cup B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知扇形的半径为2，圆心角为 $4 5^{∘}$ ，则扇形的弧长是（）

A、45 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、90

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3. 已知函数 $f (2^{x} + 1) = l o g_{3} x$ ，则 $f (9) =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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4. 设 $a > 0$ ，则函数 $y = | x | (x - a)$ 的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列选项中，能使“ $a > b$ ”成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a > | b |$ C、 $a > b + 2$ D、 $a > b - 2$

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6. 方程 $\frac{l n x}{x} - \frac{e}{x} + 1 = 0$ 的根所在的区间是（）（参考数据 $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， e)$ C、 $(e ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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7. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 a - 1) x + 3 a ， x < 1 \\ l o g_{a} x ， x \geq 1 \end{array}$ 是定义在R上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $(\frac{1}{5} ， \frac{1}{2})$ D、 $[\frac{1}{5} ， \frac{1}{2})$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x + a c o s x$ 图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ ， $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，且函数 $f (x)$ 在区间 $(x_{1} ， x_{2})$ 上具有单调性，则 $| x_{1} + x_{2} |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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二、多选题

9. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(π ， 2 π)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = c o s x$ B、 $f (x) = x^{3}$ C、 $f (x) = 3^{x}$ D、 $f (x) = l g | x |$

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10. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a < b$ C、若 $a > 0 ， b > 0 ， 2^{a} + 3 a = 2^{b} + 4 b$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{b} < b + \frac{1}{a}$

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11. 已知 $a = 3^{\frac{2}{3}} ， b = 1 8^{\frac{1}{6}} ， c = l o g_{4} 3 ， d = l o g_{5} 4$ ，则下列大小关系正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a > d$ C、 $c < d$ D、 $b < c$

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12. 已知符号函数 $s g n (x) = {\begin{array}{l} 1 ， & x > 0 \\ 0 ， & x = 0 \\ - 1 ， & x < 0 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = s g n (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、对任意 $x \in R ， s g n (e^{x}) = 1$ C、对任意的 $x \in R ， | x | = - x s g n (- x)$ D、函数 $y = x s g n (- l n x)$ 的值域为 ${y ∣ y < - 1$ 或 $0 \leq y < 1}$

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三、填空题

13. 命题“ $\exists x > 0 ， 2^{x} < x + 1$ ”的否定是.

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14. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m^{2} + m + 3}$ 是幂函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则实数 $m =$ .

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15. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (x ， 2)$ ，且 $c o s α = - \frac{4}{5}$ ，则实数 $x =$ .

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16. $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = 4 x + \frac{1}{x} - 3 a + 5$ ，若 $f (x) - a + 2 \geq 0$ 对一切 $x \geq 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17.

(1)、计算： $3^{l o g_{3} 4} + 2 7^{\frac{1}{3}} + l g 5 + l g 20$ ；

(2)、若 $t a n (\frac{π}{2} + α) = 3$ ，求 $\frac{2 s i n α + c o s α}{c o s α - s i n α}$ 的值.

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18. 已知集合 $A = {x ∣ l o g_{5} (x + 1) \leq 1} ， B = {x ∣ x^{2} - (a + 1)^{2} x + 2 a (a^{2} + 1) < 0}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (2 x - \frac{π}{3}) - s i n 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的单调递增区间；

(2)、若 $f (\frac{β}{2}) = \frac{1}{3}$ ，求 $c o s (2 β - \frac{π}{3})$ 的值.

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20. 宣城市旅游资源丰富，知名景区众多，如宣州区的敬亭山风景区､绩溪县的龙川景区､旌德县的江村景区､宁国市的青龙湾景区､广德市的太极洞景区､郎溪县的观天下景区､泾县的查济景区等等.近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业将迎来复苏.某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客 $x$ 万人，则需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 25 ， & 0 < x ⩽ 5 \\ x^{2} + 20 x - 100 ， & 5 < x ⩽ 20 \\ 61 x + \frac{900}{x} - 565 ， & x > 20 \end{array}$ ，该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴 $10 x$ 万元.

(1)、求2023年该项目的利润 $W (x)$ （万元）关于人数 $x$ （万人）的函数关系式（利润 $=$ 收入 $-$ 成本）；

(2)、当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

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21. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3} ， B C = 2$ ，点 $M ， N$ 分别在线段 $A B ， C D$ （含端点）上， $P$ 为 $A D$ 的中点， $P M ⊥ P N$ ，设 $∠ A P M = α$ .

(1)、求角 $α$ 的取值范围；

(2)、求出 $△ P M N$ 的周长 $l$ 关于角 $α$ 的函数解析式 $f (α)$ ，并求 $△ P M N$ 的周长 $l$ 的最小值及此时 $α$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x)$ 对一切实数 $x ， y \in R$ 都有 $f (x + y) - f (y) = x (x + 2 y - 2)$ 成立，且 $f (1) = 0$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值和 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (| a^{x} - 2 |) - 3 k | a^{x} - 2 | + 2 k = 0 (a > 1)$ 有三个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围.

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