浙江省绍兴市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {1 ， 3 ， 5}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (3 ， 4) ， \vec{b} = (- k ， 2)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ k \vec{a}$ ，则实数 $k (k \neq 0)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. 某校进行“七选三”选课，甲､乙两名学生都要从物理､化学､生物､政治､历史､地理和技术这7门课程中选择3门课程进行高考，假设他们对这7门课程都没有偏好，则他们所选课程中有2门课程相同的概率为（）

A、 $\frac{12}{35}$ B、 $\frac{13}{35}$ C、 $\frac{15}{28}$ D、 $\frac{13}{28}$

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5. 仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十五号”载人飞船于北京时间11月29日23时08分发射，约10分钟后，“神舟十五号”载人飞船与火箭成功分离.早在1903年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度 $v$ 满足公式： $v = v_{0} l n \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}}$ ，其中 $m_{1} ， m_{2}$ 分别为火箭结构质量和推进剂的质量， $v_{0}$ 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为 $8 k m / s$ ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据： $l n 2 \approx 0.7 ， l n 3 \approx 1.1 ， l n 4 \approx 1.4$ ）

A、 $10 k m / s$ B、 $20 k m / s$ C、 $\frac{80}{3} k m / s$ D、 $40 k m / s$

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6. 已知 $0 < a < b ， l o g_{a} x + l o g_{b} y < l o g_{a} y + l o g_{b} x$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $l o g_{a} b > 0$ 时， $x > y$ B、当 $l o g_{a} b > 0$ 时， $x < y$ C、当 $l o g_{a} b < 0$ 时， $x < y$ D、当 $l o g_{a} b < 0$ 时， $x ， y$ 大小不确定

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7. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) - 1 (ω > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 在 $x \in [1 ， 7]$ 上恰有3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3})$ B、 $[\frac{2 π}{3} ， 2 π)$ C、 $[\frac{8 π}{21} ， \frac{3 π}{7})$ D、 $[\frac{8 π}{21} ， \frac{4 π}{7})$

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8. 已知 $△ A B C$ 是边长为4的正三角形， $M ， N$ 分别为 $B A ， B C$ 边上的一点（不含端点），现将 $△ B M N$ 折起，记二面角 $B - M N - A$ 的平面角为 $α$ ，若 $α = \frac{π}{3}$ ，则四棱锥 $B - M N C A$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{32 \sqrt{3}}{9}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = c o s x + c o s 2 x$ ，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ C、函数 $f (x)$ 的最大值为 $2$ D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上有两个极值点

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10. 在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 是线段 $A A_{1}$ 的中点，则下列说法正确的有（）

A、存在直线 $l ⊂$ 平面 $B C E$ ，使得 $l / / B_{1} C_{1}$ B、存在直线 $l ⊂$ 平面 $B C E$ ，使得 $l / / A_{1} C_{1}$ C、存在直线 $l ⊂$ 平面 $B C E$ ，使得 $l ⊥ A_{1} C_{1}$ D、存在直线 $l ⊂$ 平面 $B C E$ ，使得 $l ⊥ B_{1} C_{1}$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于点 $A ， B$ ，过 $A ， B$ 分别向抛物线 $C$ 的准线作垂线，垂足分别为 $P ， Q$ ，线段 $P Q$ 的中点为 $E$ ，则（）

A、 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |} > 1$ B、 $A E ⊥ B E$ C、 $F P ⊥ F Q$ D、 $△ F P Q$ 面积的最小值为4

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12. 设定义在 $R$ 上的函数 $f (x) ， g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x) ， g^{'} (x)$ ，若 $f (x + 2) + g (2 - x) = 2 ， f^{'} (x) = g^{'} (x + 2)$ ，且 $y = g (x + 1)$ 为偶函数，则下列说法中正确的是（）

A、 $g^{'} (1) = 0$ B、 $g^{'} (x)$ 的图象关于 $x = \frac{3}{2}$ 对称 C、 $g (2) + g (3) + g (4) = 0$ D、函数 $f (x)$ 为周期函数，且周期为8

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三、填空题

13. $(1 + 2 x)^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数为(用数字作答)

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14. 若圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 a y = 8 - a^{2}$ 相交，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 若函数 $f (x) = - 4 x^{3} + 3 x$ 在 $(a ， a + 2)$ 上存在最小值，则实数 $a$ 的取值可以是.

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16. 已知实数 $a > 0 ， b < 0$ ，则 $\frac{\sqrt{3} b - a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2 ， 2 b s i n C = \sqrt{3} a c o s B + \sqrt{3} b c o s A$

(1)、求角 $B$ .

(2)、若角 $A$ 为钝角，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1 ， (n - 1) a_{n} - n a_{n - 1} = 1 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{2} ， a_{3}$ 的值，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、令 $b_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D ， M$ 为 $P C$ 中点.

(1)、如果 $P A$ 与平面 $A B C D$ 所成的线面角为 $\frac{π}{4}$ ，求证： $P C ⊥$ 平面 $A D M$ .

(2)、当 $B P$ 与平面 $B D M$ 所成角的正弦值最大时，求三棱锥 $D - B C M$ 的体积.

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20. 为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.
参考数据：若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827 ， P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545 ， P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

(1)、用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

(2)、可以认为这次竞赛成绩 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ （用样本平均数 $\bar{x}$ 和标准差 $s$ 分别作为 $μ$ ， $σ$ 的近似值），已知样本标准差 $s \approx 8.65$ ，如有 $84 %$ 的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？

(3)、从 $[80 ， 100]$ 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测 $i (1 \leq i \leq 6)$ 份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的 $i$ 份试卷都不低于90分，求抽测2份的概率.

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21. 已知 $A ， B ， C$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上相异的三个点，点 $A ， B$ 关于原点对称，直线 $B C ， A C$ 的斜率乘积为2.

(1)、求双曲线 $C$ 的离心率.

(2)、若双曲线 $C$ 过点 $(\sqrt{3} ， 2)$ ，过圆 $O ： x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 上一点 $T (x_{0} ， y_{0})$ 作圆 $O$ 的切线 $l$ ，直线 $l$ 交双曲线 $C$ 于 $P ， Q$ 两点， $| O P | \cdot | O Q | = 4 \sqrt{10}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x (a \neq 0)$ .

(1)、若 $f (x) \geq 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、求证： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} > l n (\frac{n}{2} + 1)$ .

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