广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 - 2 x \geq 3}$ ， $∁_{U} B = {x | - 3 \leq x \leq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | x < - 3}$ C、 ${x | x \leq - 3}$ D、 ${x | x \leq - 3$ 或 $x \geq 1}$

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2. 已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的两个根.若 $z_{1} = 1 + i$ ，则 $| z_{2} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，向量 $\vec{c}$ 满足 $2 \vec{b} + \vec{c} = 3 \vec{a}$ .若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则 $| \vec{c} | =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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4. 已知 $2^{a} > 2^{b}$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $l n (a - b) > 0$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a - b} > 1$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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5. 一个圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥内部最大的球的表面积为 $4 π$ .若该圆锥的轴截面的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $16 π$

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6. 已知 $α \in (0 ， \frac{3 π}{4})$ ， $c o s (α + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\pm \frac{3}{5}$

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7. 已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（）

A、288 B、144 C、72 D、36

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8. 如图，四边形ABCD是边长为 $\sqrt{3}$ 的正方形，P是圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上的动点，且 $∠ A P D = \frac{2 π}{3}$ ， Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使 $| P Q |$ 取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使 $| P Q |$ 取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则 $| P Q | =$ （）

A、 $\sqrt{3} + \frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、2 D、不存在

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二、多选题

9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、 $B C_{1} ∥$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、点D到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{1}{3} B_{1} D$ D、 $D D_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 2022年前三个季度全国居民人均可支配收入27650元，比2021年同期增长了约5.3%，图①为2021年与2022年前三季度全国及分城乡居民人均可支配收入的对比图；图②为2022年前三季度全国居民人均消费支出及构成（其中全国居民人均可支配收入=城镇居民人均可支配收入×城镇人口比重+农村居民人均可支配收入×农村人口比重），则下列说法正确的是（）

A、2022年前三个季度全国居民可支配收入的中位数一定高于2021年同期全国居民可支配收入的中位数 B、2022年城镇居民人数多于农村居民人数 C、2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费超过了总消费的50% D、2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出超过了3700元

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且C的一条渐近线经过点 $P (\sqrt{3} ， 3)$ ，直线 $P F_{2}$ 与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（）

A、C的离心率为2 B、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则C的方程为 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $△ P O F_{2}$ （O为坐标原点）的面积为 $2 \sqrt{3}$ D、若 $\vec{F_{2} A} = 3 \vec{P F_{2}}$ ，则C的焦距为 $3 \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = x - a x e^{x} - a e^{x}$ ，且存在唯一的整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) > 0$ ，则实数a的可能取值为（）

A、 $\frac{2}{3 e^{2}}$ B、 $\frac{1}{2 e}$ C、 $\frac{3 e + 4}{12 e^{2}}$ D、 $\frac{1}{e}$

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三、填空题

13. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{4} = 9$ ， $a_{4} + a_{7} = \frac{15}{2}$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 满足① $f (x) + f (\frac{1}{x}) = 0$ ；②在定义域内单调递增.请写出一个符合条件①②的函数的表达式.

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15. 如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足 $U = 311 s i n (ω t + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ .在一个周期内，电压的绝对值超过 $\frac{311}{2}$ 的时间为.（答案用分数表示）.

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16. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为 $- \sqrt{3}$ ， $△ A B F$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{13}$ ，则E的标准方程为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n} - 1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 a c o s B = 2 c - b$ ，点D为BC边的中点.

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图①，在 $△ A B C$ 中， $B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， D，E分别是边AB，AC的中点，现将 $△ A D E$ 沿着DE折起，使点A到达点P的位置，并连接PB，PC，得到四棱锥 $P - B C E D$ ，如图②，设平面 $P D E ∩$ 平面 $P B C = l$

(1)、证明： $l ⊥$ 平面PBD；

(2)、若点B到平面PDE的距离为 $\sqrt{3}$ ，求平面PEC与平面PBD夹角的余弦值.

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20. 《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；

(2)、当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合拥有发球权的概率为 $P_{i}$ .假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.

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21. 已知F是抛物线E： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点.当 $l ⊥ x$ 轴时， $△ O A B$ （O为坐标原点）的面积为2.

(1)、求E的方程；

(2)、设过点F的直线 $l_{1}$ 与E交于C，D两点，且 $| F A | \cdot | F B | = | F C | \cdot | F D |$ .当 $| C D | = 8$ 时，求直线l的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a l n x + x^{2} - 2 (a + 1) x (a < 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $f (x)$ 有两个零点时，分别设为 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，试判断 $x_{1} + x_{2}$ 与2的大小关系，并证明.

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