广东省潮州市2023届高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) ∣ y = x^{2}} ， B = {(x ， y) ∣ y = 3 x}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 3}$ B、 ${(0 ， 0) ， (3 ， 9)}$ C、 ${(0 ， 0)}$ D、 ${(3 ， 9)}$

查看试题解析
2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - 3 i) = 5 - 5 i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 某种心脏手术成功率为0.7，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7，故我们用0､1､2表示手术不成功，3､4､5､6､7､8､9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：856､832､519､621､271､989､730､537､925､907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.5

查看试题解析
4. 若 $(x + 1)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} =$ （）

A、4 B、8 C、80 D、3125

查看试题解析
5. 如图是函数 $f (x)$ 的图象，则函数 $f (x)$ 的解析式可以为（）．

A、 $e^{x} + l n | x |$ B、 $e^{- x} + e^{2 x}$ C、 $x^{2} + \frac{1}{x}$ D、 $x + \frac{1}{x^{2}}$

查看试题解析
6. 正实数 $x ， y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ，且不等式 $x + \frac{y}{4} \geq m^{2} - 3 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- 4 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 4]$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [4 ， + \infty)$

查看试题解析
7. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F的直线与E交于A，B两点，且 $| A F | = 3 | B F |$ .则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

查看试题解析
8. 点 $M$ ， $N$ 分别是棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中棱 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，动点 $P$ 在正方形 $B C C_{1} B_{1}$ （包括边界）内运动，若 $P A_{1} / /$ 面 $A M N$ ，则 $P A_{1}$ 的长度的最小值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{2}$ C、3 D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，当 $μ$ 不变时， $σ$ 越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平 B、运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、相关系数r越大，y与x相关的程度就越强 D、利用 $χ^{2}$ 进行独立性检验时， $χ^{2}$ 的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系

查看试题解析

三、单选题

10. 设函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) + \frac{3}{4} (ω \in N *)$ 在 $[\frac{5 π}{12} ， \frac{5 π}{6}]$ 上单调递减，则下列叙述正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 轴对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上的最小值为 $- \frac{5}{4}$ D、 $f (x)$ 关于点 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 对称

查看试题解析

四、多选题

11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，记 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则曲线 $C$ 的离心率 $e \in (1 ， \sqrt{2})$ B、若以 $F_{1}$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $F_{1}$ ，则圆 $F_{1}$ 与 $C$ 的渐近线相切 C、直线 $y = \frac{b}{a} x + a$ 与双曲线 $C$ 相切于一点 D、若 $M$ 为直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 上纵坐标不为0的一点，则当 $M$ 的纵坐标为 $\pm \frac{a b}{c}$ 时， $△ O M F_{2}$ 外接圆的面积最小

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $x f^{'} (x) - f (x) = (x - 1) e^{x}$ ，（ $e$ 为自然对数的底数），且 $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $3 f (2) > 2 f (3)$ B、 $f (1) < f (2) < f (e)$ C、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 D、 $f (x)$ 无极大值

查看试题解析

五、填空题

13. 设 $A ， B$ 是圆 $C$ 上的同点.且 $A B = 2 \sqrt{3}$ .则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ .

查看试题解析
14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} - a_{3} = 12 ， a_{6} - a_{4} = 24$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和､前 $n$ 项积分别为 $S_{n} ， T_{n}$ ，则 $\frac{{(S_{n} + 1)}^{2}}{T_{n}}$ 的最大值是.

查看试题解析
15. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的每个顶点都在球M的球面上，侧面 $P A B$ 是等边三角形．若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的半径与球M的半径的比值为．

查看试题解析
16. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则函数 $g (x) = f (x) - {(\frac{x - 2}{10})}^{3}$ 的所有零点之和为.

查看试题解析

六、解答题

17. 对于数列 ${x_{n}}$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{x_{n} + x_{n + 2}}{2} < x_{n + 1}$ 成立，则称数列 ${x_{n}}$ 为“有序减差数列”.设数列 ${a_{n}}$ 是递减等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 ${a_{1} ， a_{2} ， a_{3}} \subseteq {- 4 ， - 3 ， - 2 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并判断数列 ${S_{n}}$ 是否为“有序减差数列”；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} ， c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n 为奇数 \\ b_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求 $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{9}$ 的值.

查看试题解析
18. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $B C ⊥ C D ， A C = \sqrt{3} ， A D = 1 ， ∠ A C D = 30 °$ .

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $B C$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是一个菱形，且 $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $A B = 2$ ， $P A = 3$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、若 $Q$ 是线段 $P C$ 上的任意一点，证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $Q B D$ ；

(2)、当 $C Q = \frac{1}{3} C P$ 时，求平面 $P B C$ 与平面 $Q B D$ 的夹角的余弦值.

查看试题解析
20. 核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽扰子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；

方案二：四个样本混合在一起化验；

方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验.

在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.

(1)、若 $p = \frac{1}{3}$ ，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？

(2)、若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆 $C$ 上一点，点 $M$ ， $N$ 关于 $y$ 轴对称，且 $\vec{M N} = \vec{A B}, | \vec{M N} | = 4, △ P A B$ 的面积的最大值为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $P M, P N$ 分别交 $x$ 轴于点 $D, E$ ，若 $| A D |, | D E |, | E B |$ 成等比数列，求点 $M$ 的纵坐标.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 1$ ， $g (x) = l n x + a (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， t]$ （其中 $\frac{1}{e} < t < e$ ， $e$ 是自然对数的底数）上的最小值；

(2)、若存在与函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象都相切的直线，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析