陕西省咸阳市2022-2023学年高二上学期理数期末试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x > 0 ， x^{3} \geq 3 x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0 ， x^{3} < 3 x + 1$ B、 $\forall x < 0 ， x^{3} \geq 3 x + 1$ C、 $\forall x > 0 ， x^{3} < 3 x + 1$ D、 $\exists x < 0 ， x^{3} < 3 x + 1$

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2. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 上一点P到右焦点的距离为5，则它到左焦点的距离为（）

A、31 B、15 C、7 D、1

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3. 已知 $0 < a < 1 ， b < 0$ ，则下列大小关系正确的是（）

A、 $a b < b < a^{2} b$ B、 $b < a b < a^{2} b$ C、 $b < a^{2} b < a b$ D、 $a^{2} b < b < a b$

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4. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $4 x + y = 1$ ，则 $(4 x + 1) (y + 1)$ 的最大值为（）．

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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5. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B D_{1}} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

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6. 已知 ${a_{n}}$ 是递增的等比数列，且 $a_{2} < 0$ ，则其公比 $q$ 满足（）

A、 $q < - 1$ B、 $- 1 < q < 0$ C、 $q > 1$ D、 $0 < q < 1$

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (3 ， y_{0})$ 在抛物线 $C$ 上， $O$ 为坐标原点，若 $| A F | = 6$ ，则 $| O A | =$ （）

A、3 B、 $3 \sqrt{5}$ C、6 D、 $6 \sqrt{5}$

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8. 已知 $a \in R$ ，则“ $a > 6$ ”是“ $a^{2} > 36$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 4 \\ x - y \leq 2 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、2 B、7 C、8 D、10

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10. 2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351 $k m$ ，远地点高度约为385 $k m$ ，地球半径约为6400 $k m$ ，则该轨道的离心率约为（）

A、 $\frac{17}{6768}$ B、 $\frac{17}{368}$ C、 $\frac{385}{736}$ D、 $\frac{6785}{13536}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ ，定义数列 ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的“2倍差数列”.若 ${a_{n}}$ 的“2倍差数列”的通项公式 $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2^{n + 1}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ （）

A、 $(n - 1) 2^{n + 1} + 2$ B、 $n \cdot 2^{n + 1} - 2$ C、 $(n - 1) 2^{n} + 2$ D、 $(n + 1) 2^{n} - 2$

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12. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{1}$ 作 $y = - \frac{b}{a} x$ 的垂线分别交双曲线的左､右两支于 $B ， C$ 两点(如图).若 $∠ C B F_{2} = ∠ C F_{2} B$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm (\sqrt{3} + 1) x$ D、 $y = \pm (\sqrt{3} - 1) x$

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二、填空题

13. 已知空间向量 $\vec{a} = (6 ， - 3 ， 1)$ 与 $\vec{b} = (3 ， x ， y)$ 共线，则 $x - y =$ .

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14. 写出一个离心率为 $2 \sqrt{2}$ 的双曲线方程为.

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15. 已知命题 $p ： \exists x \in [1 ， 4] ， \frac{a}{x} + x > 4$ 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距 $= 6 ： 1 ， O A = O B = 12 ， c o s ∠ A^{'} O B^{'} = \frac{23}{32}$ ，则像高为.

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三、解答题

17. 设函数 $f (x) = - a x^{2} + a x + 6 ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求关于x的不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $R$ ，求实数a的取值范围．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{5}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 在三角形 $A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $\frac{a c o s C + c c o s A}{s i n B} = 2 b$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $B$ 为锐角， $A = \frac{π}{6}$ ， BC边上的中线长 $A D = \sqrt{7}$ ，求三角形 $A B C$ 的面积．

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20. 如图四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是直角梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $M$ 是 $S A$ 的中点， $A D = S D = C D = 2 A B = 2$ .用空间向量知识解答下列问题：

(1)、求证： $D M ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求平面 $S A B$ 与平面 $S B C$ 的夹角.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆 $C$ 上是否存在点 $P$ 使得 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ？若存在，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积，若不存在，请说明理由.

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22. 已知抛物线 $T$ 的顶点在坐标原点，焦点与圆 $F$ ： $x^{2} + (y - a)^{2} = 1$ （ $a > \frac{1}{4}$ ）的圆心重合， $T$ 上一点 $M (1 ， m)$ 到焦点 $F$ 的距离 $| F M | = \frac{5}{4}$ .

(1)、求抛物线 $T$ 的方程；

(2)、过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $T$ 和圆 $F$ 从左向右依次交于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点，且满足 ${| A B |}^{2} + {| B C |}^{2} + {| C D |}^{2} = 18$ ，求直线 $l$ 的方程.

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