陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二上学期理数期末试卷

试卷更新日期：2023-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l ， m$ 与平面 $α$ ，其中 $m \subset α$ ，则“ $l ⊥ m$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）条件

A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要

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2. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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3. 设等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 2$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 4$ ，则 $a_{10} + a_{11} + a_{12} =$ （）

A、16 B、32 C、12 D、18

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4. 已知 $m = a + \frac{1}{a} + 1 (a > 0)$ ， $n = 3^{x} (x < 1)$ ，则 $m$ ， $n$ 之间的大小关系是（）

A、 $m > n$ B、 $m < n$ C、 $m = n$ D、 $m \leq n$

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $c = 2 a c o s B$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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6. 抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $M$ 的坐标为 $(- 2 ， 1)$ ，则点 $M$ 到焦点的距离为（）

A、3 B、2 C、1 D、 $\frac{17}{16}$

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7. 在正方体ABCD— $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 中，异面直线AD， $B D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知椭圆 $x^{2} + m y^{2} = 1 (m > 0)$ 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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9. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是空间的一个基底，则下列说法错误的是（）

A、若 $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $x = y = z = 0$ B、 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 两两共面，但 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 不共面 C、一定存在x，y，使得 $\vec{a} = x \vec{b} + y \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} - \vec{c} ， \vec{c} + 2 \vec{a}$ 一定能构成空间的一个基底

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10. 双曲线的标准方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、该曲线两顶点的距离为 $2 \sqrt{3}$ B、该曲线与双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 有相同的渐近线 C、该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1 D、该曲线与直线 $l ： y = \sqrt{3} (x - 2)$ 有两个公共点

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11. 已知空间四面体 $O A B C$ 中，对空间内任一点 $M$ ，满足 $\vec{O M} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + λ \vec{O C}$ 下列条件中能确定点 $M ， A ， B ， C$ 共面的是（）

A、 $λ = \frac{1}{2}$ B、 $λ = \frac{1}{3}$ C、 $λ = \frac{5}{12}$ D、 $λ = \frac{7}{12}$

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12. 阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还宲有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点 $A$ ， $B$ 处的切线交于占 $P$ ，称 $△ P A B$ 为“阿基米德三角形”，当线段 $A B$ 经过抛物线焦点 $F$ 时， $△ P A B$ 具有以下特征：（1） $P$ 点必在抛物线的准线上；（2） $△ P A B$ 为直角三角形，且 $P A ⊥ P B$ ；（3） $P F ⊥ A B$ ．已知过抛物线 $x^{2} = 16 y$ 焦点的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 页点，过点 $A$ ， $B$ 处的切线交于点 $P$ ，若点 $P$ 的横坐标为 $2$ ，则直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 8 = 0$ B、 $x - 2 y + 8 = 0$ C、 $x - 4 y + 16 = 0$ D、 $x + 4 y - 16 = 0$

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二、填空题

13. 若命题“ $\exists x \in R$ ， $2 - x^{2} > m$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是.

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14. 若 $\vec{a} = (- 1 ， \sqrt{2} ， 1)$ ，则与向量 $\vec{a}$ 同方向的单位向量的坐标为．

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15. 设 ${a_{n}}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列， $a_{1} = 1$ 且 $a_{2} ， a_{4} ， a_{8}$ 成等比数列，则 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + ⋯ ⋯ + \frac{1}{a_{9} a_{10}} =$

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 内， $O$ 为坐标原点，对于任意两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，定义它们之间的“欧几里得距离” $| A B | = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ， “曼哈顿距离”为 $| | A B | | = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，则对于平面上任意一点 $P$ ，若 $| | O P | | = 2$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为.

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三、解答题

17. 设 $p ： x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0 (a > 0) ， q ： x^{2} - 11 x + 18 \leq 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ， p且 $(\neg q)$ 为真，求实数x的取值范围；

(2)、若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = | x | + 2 | x - 9 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) < 15$ ；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) < a$ 有解，求实数a的取值范围．

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19. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ ．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A D F$ 所成角的正弦值．

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20. 已知 $△ A B C$ 的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足 $\frac{a^{2} s i n B s i n C}{s i n A} = \frac{\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{2}$ ．

(1)、求角C的值；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，且 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ，求 $C D$ 的长度．

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21. 在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， B C = 2 A D = 2 A B = 2 \sqrt{2} ， ∠ A B C = 90 °$ ， O为 $B D$ 中点，如图（1）．把 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，如图（2）．

(1)、求证： $O A ⊥ C D$ ；

(2)、若M为线段 $B C$ 的中点，求点M到平面 $A C D$ 的距离．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且经过点 $(\sqrt{6} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、动直线l与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．

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