2023年中考数学精选真题实战测试57 图形变换 A

试卷更新日期：2023-03-04 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）

A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似

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3. 在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 3)$ 关于y轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 2 ， - 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(2 ， - 3)$ D、 $(- 3 ， - 2)$

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4. 若点 $A (a ， - 1)$ 与点 $B (2 ， b)$ 关于y轴对称，则 $a - b$ 的值是（）

A、-1 B、-3 C、1 D、2

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5. 如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在 $B^{'}$ 上，连接 $D B^{'}$ ．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则 $∠ A D B^{'}$ 的度数为（）

A、50° B、60° C、80° D、90°

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6. 在平面直角坐标系中，直线 $y = - \sqrt{3} x + \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，将 $△ A O B$ 绕 $O$ 点逆时针旋转到如图 $△ A^{'} O B^{'}$ 的位置， $A$ 的对应点 $A^{'}$ 恰好落在直线 $A B$ 上，连接 $B B^{'}$ ，则 $B B^{'}$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点O，点E是直线 $B C$ 上一动点．若 $A B = 4$ ，则 $A E + O E$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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8. 如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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9. 在如图所示的 $R t △ A B C$ 纸片中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若 $A E ∥ D C$ ， $∠ B = α$ ，则 $∠ E A C$ 等于（）

A、 $α$ B、 $90 ° - α$ C、 $\frac{1}{2} α$ D、 $90 ° - 2 α$

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10. 如图，点E在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，点A恰好落在 $B C$ 边上的点F处，若 $C D = 3 B F$ ， $B E = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝．

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12. 如图，直线 $a ∥ b$ ， $△ A O B$ 的边 $O B$ 在直线 $b$ 上， $∠ A O B = 55 °$ ，将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $75 °$ 至 $△ A_{1} O B_{1}$ ，边 $A_{1} O$ 交直线 $a$ 于点 $C$ ，则 $∠ 1 =$ $°$ ．

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13. 如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝ $\frac{1}{3}$ AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．

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14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．

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15. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转角 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到 $△ A D E$ ，点B的对应点D恰好落在 $B C$ 边上，若 $D E ⊥ A C ， ∠ C A D = 25 °$ ，则旋转角 $α$ 的度数是.

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16. 菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = 45 °$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别是 $B C$ 、 $B D$ 上的动点， $C Q + P Q$ 的最小值为.

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三、解答题（共7 题，共72分）

17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1 ， - 1)$ ， $B (2 ， - 5)$ ， $C (5 ， - 4)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出两次平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $C_{1}$ 顺时针旋转90°后得到 $△ A_{2} B_{2} C_{1}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，求点 $A_{1}$ 旋转到点 $A_{2}$ 的过程中所经过的路径长（结果保留 $π$ ）．

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18. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，D为 $△ A B C$ 内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F.

(1)、求证： $B D = C E$ ， $B D ⊥ C E$ ；

(2)、如图2.连接AF，DC，已知 $∠ B D C = 135 °$ ，判断AF与DC的位置关系，并说明理由.

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19. 如图，直线 $y = \frac{3}{4} x + 6$ 分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段 $A B$ 上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作 $∠ O C D = ∠ O A B$ ，射线 $C D$ 交线段 $O B$ 于点D，将射线 $O C$ 绕点O顺时针旋转 $90 °$ 交射线 $C D$ 于点E，连接 $B E$ .

(1)、证明： $\frac{C D}{D B} = \frac{O D}{D E}$ ；（用图1）

(2)、当 $△ B D E$ 为直角三角形时，求 $D E$ 的长度；（用图2）

(3)、点A关于射线 $O C$ 的对称点为F，求 $B F$ 的最小值.（用图3）

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20. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 8$ ， $E$ 是 $A D$ 边上的一点，连接 $C E$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠，顶点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上的点 $F$ 处，延长 $C E$ 交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求线段 $A E$ 的长；

(2)、求证四边形 $D G F C$ 为菱形；

(3)、如图2， $M$ ， $N$ 分别是线段 $C G$ ， $D G$ 上的动点（与端点不重合），且 $∠ D M N = ∠ D C M$ ，设 $D N = x$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使 $△ D M N$ 是直角三角形？若存在，请求出 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)、判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)、延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

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22. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点E在边 $A D$ 上（不与端点A，D重合），点A关于直线 $B E$ 的对称点为点F，连接 $C F$ ，设 $∠ A B E = α$ .

(1)、求 $∠ B C F$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）；

(2)、过点C作 $C G ⊥ A F$ ，垂足为G，连接 $D G$ .判断 $D G$ 与 $C F$ 的位置关系，并说明理由；

(3)、将 $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ C B H$ ，点E的对应点为点H，连接 $B F$ ， $H F$ .当 $△ B F H$ 为等腰三角形时，求 $\sin α$ 的值.

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23. 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B$ 为锐角， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $D E$ ，将菱形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，得到四边形 $A^{'} B^{'} E D$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A ′$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B ′$ .

(1)、【观察发现】 $A^{'} D$ 与 $B^{'} E$ 的位置关系是；

(2)、【思考表达】连接 $B^{'} C$ ，判断 $∠ D E C$ 与 $∠ B^{'} C E$ 是否相等，并说明理由；

(3)、如图（2），延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请探究 $∠ D E G$ 的度数，并说明理由；

(4)、【综合运用】如图（3），当 $∠ B = 60 °$ 时，连接 $B^{'} C$ ，延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请写出 $B^{'} C$ 、 $E G$ 、 $D G$ 之间的数量关系，并说明理由.

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