浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $y = x + 1$ 的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 5) ， \vec{b} = (x - 2 ， 1 ， x)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、-2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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3. 曲线 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y = 0$ B、 $x - y = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x - y - 1 = 0$

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4. 已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左焦点， $P$ 为椭圆上任意一点，点 $Q$ 的坐标为 $(- 2 ， 1)$ ，则 $| P Q | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $8 - \sqrt{26}$ C、3 D、 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$

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5. 在四面体 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 为正三角形， $D B ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $A B = B D$ ，若 $3 \vec{A E} = \vec{A B}$ ， $2 \vec{C F} = \vec{C D}$ ，则异面直线 $D E$ 和 $B F$ 所成角的余弦值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ B、 $- \frac{\sqrt{26}}{13}$ C、 $\frac{2 \sqrt{39}}{39}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{39}}{39}$

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6. 某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为 ${a_{n}}$ ，在数列 ${a_{n}}$ 的任意相邻两项 $a_{k}$ 与 $a_{k + 1} (k = 1 ， 2 ， ⋯)$ 之间插入 $3^{k}$ 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ${b_{n}}$ ．按新数列 ${b_{n}}$ 的各项依次派遣支教学生．记 $S_{50}$ 为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则 $S_{50}$ 的值为（）

A、198 B、200 C、240 D、242

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7. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过C上任意一点P作圆C的切线l，交 $Γ$ 于A，B两点，过A，B分别作椭圆 $Γ$ 的切线，两切线交于点Q，则 $| O Q |$ （O为坐标原点）的最大值为（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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8. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，过B作l的垂线交l于点D，若 $△ B D F$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 关于x，y的方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1 (m \in R)$ 表示的曲线可以是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{15} > 0 ， \frac{a_{9}}{a_{8}} < - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| a_{9} | > a_{8}$ B、使 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的最大值为 $16$ C、公差 $d < 0$ D、当 $n = 8$ 时 $S_{n}$ 最大

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11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若 $△ A B C$ 满足 $A C = B C$ ，顶点 $A (0 ， 1)$ ， $B (2 ， - 1)$ ，且其“欧拉线”与圆 $M ： (x - 4)^{2} + y^{2} = r^{2}$ 相切，则下列结论正确的是（）

A、题中的“欧拉线”为方程： $x - y - 1 = 0$ B、圆M上的点到直线 $x - y = 0$ 的最小距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、若圆M与圆 $x^{2} + (y - a)^{2} = 8$ 有公共点，则 $a \in [- 4 ， 4]$ D、若点 $(x ， y)$ 在圆M上，则 $\frac{y}{x + 1}$ 的最大值是 $\frac{3 \sqrt{41}}{41}$

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12. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A = P B = P C = P D = A B = 1$ ， E，F分别为线段 $P B ， B C$ （含端点）上动点，则（）

A、存在无数个点对E，F，使得平面 $A E F ⊥$ 平面 $A B C D$ B、存在唯一点对E，F，使得平面 $A E F ⊥$ 平面 $P B C$ C、若 $E F ⊥ B C$ ，则四面体 $P - A E F$ 的体积最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{96}$ D、若 $E F / /$ 平面 $P C D$ ，则四面体 $A - B E F$ 的体积最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， 0 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为．

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14. 设函数 $f (x) = l n x - 2 m x$ （m为实数），若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数m的取值范围．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} + n$ ，则 $a_{n} =$ ．

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过左焦点F作直线交C于A，B两点，连接 $A O$ （O为坐标原点）并延长交椭圆于点D，若 $\vec{A B} \cdot \vec{D F} = 0 ， | D F | = 4 | B F |$ ，则椭圆的离心率为．

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四、解答题

17. 已知空间三点 $A (- 1 ， 0 ， 2) ， B (0 ， 1 ， 2) ， C (- 3 ， 0 ， 4)$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求k的值．

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18. 在① $S_{n} = n^{2} + 2 n$ ；② $a_{3} = 7 ， a_{2} + a_{6} = 18$ ；③ $a_{1} = 3 ， S_{5} = 35$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知等差数列 ${a_{n}} ， S_{n}$ 为其前n项和，若____．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n} < \frac{1}{3}$ ．

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19. 已知圆 $C ： (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ ，直线 $l ： (m + 1) x + (2 m + 1) y = 5 m + 3$ ．

(1)、判断并证明直线l与圆C的位置关系；

(2)、设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为 $1 ： 2$ ，求直线l的方程．

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1} = 1 ， 2 a_{n} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ 且 $n ∈ N^{∗}$ ）．

(1)、求证：数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{n + 2} \cdot a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 前n项和 $T_{n}$ ．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D ， A D ⊥ A B ， A B ∥ D C ， ∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A B = B C ， P A = 2$ ．点A在平面 $P B C$ 内的投影恰好为 $△ P B C$ 的重心E，连接 $P E$ 并延长交 $B C$ 于F．

(1)、求证： $A F ⊥ B C$ ；

(2)、求平面 $A C E$ 与平面 $A B C D$ 所成夹角的余弦值．

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22. 已知双曲线 $C ： x^{2} - y^{2} = λ (λ > 0)$ ，焦点 $F$ 到其中一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求 $λ$ ；

(2)、动点M，N在曲线C上，已知点 $A (2 ， - 1)$ ，直线 $A M ， A N$ 分别与y轴相交的两点关于原点对称，点Q在直线 $M N$ 上， $A Q ⊥ M N$ ，证明：存在定点T，使得 $| Q T |$ 为定值．

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