浙江省金华十校2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ 的倾斜角为(　　)

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， n)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2 ， 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则n为（）

A、0 B、1 C、2 D、 $- 2$

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3. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过C上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若 $△ P Q F$ 是边长为4的正三角形，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} ： (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 49$ ，则两圆的公切线有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、3条

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5. 桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中 $A B = B H$ ，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 小芳“双 $11$ ”以分期付款的方式购买一台标价 $6600$ 元的笔记本电脑，购买当天付了 $2600$ 元，以后的八个月，每月 $11$ 日小芳需向商家支付 $500$ 元分期款，并加付当月所有欠款产生的一个月的利息（月利率为 $2 %$ ），若 $12$ 月算分期付款的首月，则第 $3$ 个月小芳需要给商家支付（）

A、550元 B、560元 C、570元 D、580元

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7. 有以下三条轨迹：
①已知圆 $A ： (x + 1)^{2} + y^{2} = 9$ ，圆 $B ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，动圆P与圆A内切，与圆B外切，动圆圆心P的运动轨迹记为 $C_{1}$ ；
②已知点A，B分别是x，y轴上的动点，O是坐标原点，满足 $| A B | = 4$ ， AB，AO的中点分别为M，N，MN的中点为P，点P的运动轨迹记为 $C_{2}$ ；
③已知 $A (- 5 ， 0) ， B (5 ， 0)$ ，点P满足PA，PB的斜率之积为 $\frac{4}{9}$ ，点P的运动轨迹记为 $C_{3}$ ．设曲线 $C_{1} ， C_{2} ， C_{3}$ 的离心率分别是 $e_{1} ， e_{2} ， e_{3}$ ，则（）

A、 $e_{1} < e_{2} < e_{3}$ B、 $e_{1} < e_{3} < e_{2}$ C、 $e_{2} < e_{1} < e_{3}$ D、 $e_{3} < e_{1} < e_{2}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项为正数的等比数列，公比为q，在 $a_{1} ， a_{2}$ 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为 $d_{1}$ ，在 $a_{2} ， a_{3}$ 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为 $d_{2} ， ⋯$ ，在 $a_{n} ， a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数成等差数列，公差为 $d_{n}$ ，则（）

A、当 $0 < q < 1$ 时，数列 ${d_{n}}$ 单调递减 B、当 $q > 1$ 时，数列 ${d_{n}}$ 单调递增 C、当 $d_{1} > d_{2}$ 时，数列 ${d_{n}}$ 单调递减 D、当 $d_{1} < d_{2}$ 时，数列 ${d_{n}}$ 单调递增

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二、多选题

9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，则（）

A、渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{2} x$ B、焦点坐标是 $(\pm \sqrt{13} ， 0)$ C、离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、实轴长为4

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10. 自然界中存在一个神奇的数列，比如植物一年生长新枝的数目，某些花朵的花数，具有1，1，2，3，5，8，13，21……，这样的规律，从第三项开始每一项都是前两项的和，这个数列称为斐波那爽数列．设数列 ${a_{n}}$ 为斐波那契数列，则有 $a_{n} + a_{n + 1} = a_{n + 2} (n \in N^{+})$ ，以下是等差数列的为（）

A、 $a_{2021} ， a_{2022} ， a_{2023}$ B、 $a_{2021} ， a_{2023} ， a_{2024}$ C、 $S_{2021} ， S_{2022} ， S_{2023}$ D、 $S_{2021} ， S_{2023} ， S_{2024}$

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11. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长都为1， $∠ B A D = 60 °$ ，设 $∠ A_{1} A B = α ， ∠ A_{1} A D = β$ ．（）

A、若 $α = β = 90 °$ ，则直线 $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ B、若 $α = β = 90 °$ ，则平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ C、若 $α = β = 60 °$ ，则直线 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ D、若 $α = β = 60 °$ ，则平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面ABCD

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，设 $| B F_{2} | = a_{1}$ ， $| A F_{2} | = a_{2}$ ， $| A F_{1} | = a_{3}$ ， $| B F_{1} | = a_{4}$ ，已知 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 成等差数列，公差为d，则（）

A、 $a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ 成等差数列 B、若 $d = 1$ ，则 $b^{2} = \frac{3}{2}$ C、 $x_{2} = 3 x_{1}$ D、 $y_{2} = 3 y_{1} + 2$

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三、填空题

13. 直线 $l_{1} ： 3 x - 4 y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2} ： 3 x - 4 y + 4 = 0$ ，则 $l_{1} ， l_{2}$ 之间的距离是．

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14. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n$ ，则 $a_{n} =$ ．

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15. 老张家的庭院形状如图，中间部分是矩形ABCD， $A B = 8 ， B C = 3$ （单位：m），一边是以CD为直径的半圆，另外一边是以AB为长轴的半个椭圆，且椭圆的一个顶点M到AB的距离是 $2 m$ ，要在庭院里种两棵树，想让两棵树距离尽量远，请你帮老张计算一下，这个庭院里相距最远的两点间距离是m．

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16. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $∠ A = 6 0^{∘}$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ 、 $B C$ 的中点．现将四边形 $C D E F$ 沿着直线 $E F$ 向上翻折，则在翻折过程中，当点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 时，二面角 $A - E F - D$ 的余弦值为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，正项等比数列 ${b_{n}}$ ，其中 ${b_{n}}$ 的前n项和记为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $a_{3} = b_{3}$ ， $a_{5} = S_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 圆 $C$ 经过点 $A (1 ， 2)$ 与直线 $x + y - 5 = 0$ 相切，圆心 $C (a ， b)$ 的横、纵坐标满足 $a = 2 b (a > 0)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l ： m x + 2 y - 3 m - 1 = 0$ 交圆 $C$ 于A，B两点，当 $| A B | = \sqrt{3}$ 时，求直线l的方程．

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19. 已知直线l过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点F，与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点．

(1)、若 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $| A B |$ ；

(2)、若在抛物线 $C$ 上有且仅有一点 $P$ （异于 $A ， B$ ），使得 $P A ⊥ P B$ ，求直线l的方程和相应点 $P$ 的坐标．

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ∥ C D ， A B ⊥ B C ， A B = 3 ， B C = C D = P D = 2 ， ∠ P D C = 120 °$ ， PD与平面 $A B C D$ 所成角的大小为 $60 °$ ，点Q为线段 $P B$ 上一点．

(1)、若 $C Q ∥$ 平面 $P A D$ ，求 $\frac{P Q}{P B}$ 的值；

(2)、若四面体 $Q - A B C$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求直线 $A B$ 与平面 $A Q C$ 所成角的大小．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}$ ， $\sqrt{2 S_{n}}$ ， $a_{n + 1} (n \in N^{*})$ 成等比数列．

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，求 $a_{1}$ ；

(2)、令 $c_{n} = (a_{2 n - 1} + a_{2 n}) \cdot 3^{- \frac{n + 2}{3}}$ ，是否存在正整数k，使得 $c_{k}$ 是 $c_{k + 1}$ 与 $c_{k + 2}$ 的等比中项？若存在，求出所有满足条件的 $a_{1}$ 和k，若不存在，请说明理由．

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，斜率为1的直线过双曲线C上一点 $A (2 \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ 交该曲线于另一点B，且线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知点 $M (m ， n)$ 为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，且直线 $l_{1} ， l_{2}$ 均与圆 $x^{2} + (y - n)^{2} = 1$ 相切．设 $l_{1}$ 与双曲线C的另一个交点为P， $l_{2}$ 与双曲线C的另一个交点为Q，则当 $| P Q | = 8 \sqrt{11}$ 时，求点M的坐标．

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