浙江省杭州市八区县2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 2}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x - 3 > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 1}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | x < 2}$ D、 ${x | x > 1}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则以下判断正确的是（）

A、复数 $z$ 的模为1 B、复数 $z$ 的模为 $\sqrt{2}$ C、复数 $z$ 的虚部为 $i$ D、复数 $z$ 的虚部为 $- 1$

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3. 在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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4. 将函数 $f (x) = s i n (\frac{2 π}{3} - 2 x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{π}{2}$ B、 $x = \frac{π}{4}$ C、 $x = - \frac{π}{6}$ D、 $x = \frac{π}{3}$

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5. $2020$ 年1月30日世界卫生组织将新型冠状病毒疫情列为国际关注的突发公共卫生事件，这是21世纪以来首次由一种冠状病毒导致的大流行．基本再生数 $R_{0}$ 与代间隔 $T$ 是流行病学基本参数，其中基本再生数指一个感染者传染的平均人数，代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $I (t) = e^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I (t)$ 随时间 $t$ （单位：天）的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_{0}$ ， $T$ 近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ ．有学者基于已有数据估计出 $R_{0} = 3.28$ ， $T = 6$ ．据此计算在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数翻两番需要的时间约为（备注： $l n 2 \approx 0.69$ ）（）

A、1.8天 B、2.9天 C、3.6天 D、4.5天

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6. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为 $A ， B$ ，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ B、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{64}{5}$ C、线段 $A B$ 中垂线方程为 $2 x - y = 0$ D、 $∠ A O_{2} B > 9 0^{∘}$

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7. 已知抛物线C₁： $y^{2} = 2 p x （ p > 0 ）$ 与椭圆C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 共焦点，C₁与C₂在第一象限内交于P点，椭圆的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $4 - 2 \sqrt{3}$ D、 $3 - 2 \sqrt{2}$

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8. 已知 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $f_{1} (x) = f (x)$ ， $f_{n} (x) = f (f_{n - 1} (x))$ ，若函数 $y = f_{n} (x) - x (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ 不存在零点，则实数 $a$ 可以取（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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二、多选题

9. 若方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示的曲线为 $C$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $1 < t < 4$ ，则曲线 $C$ 为椭圆 B、若曲线 $C$ 为双曲线，则 $t < 1$ 或 $t > 4$ C、曲线 $C$ 不可能是圆 D、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $1 < t < \frac{5}{2}$

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10. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 $A =$ “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 $B =$ “抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）

A、事件 $A$ 发生的概率为 $\frac{1}{4}$ B、事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{5}{6}$ C、事件 $A ， B$ 是互斥事件 D、事件 $A ， B$ 相互独立

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列关系式中正确的是（）

A、 $(b + c) (b - c) = 2 a b s i n C - a^{2}$ B、 $(b + c) (b - c) = 2 a b c o s C - a^{2}$ C、 $s i n (A + B) s i n (A - B) = s i n^{2} A - s i n^{2} B$ D、 $c o s (A + B) c o s (A - B) = c o s^{2} A - c o s^{2} B$

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12. 对于定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，若 $f (x + 1)$ 是奇函数， $f (x + 2)$ 是偶函数，且在 $[1 ， 2]$ 上单调递减，则（）

A、 $f (3) = 0$ B、 $f (0) = f (4)$ C、 $f (\frac{1}{2}) = f (\frac{3}{2})$ D、 $f (x)$ 在 $[3 ， 4]$ 上单调递减

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三、填空题

13. 写出使不等式 $x + \frac{a}{x} \geq 3 (x \in R^{+})$ 恒成立的一个实数 $a$ 的值．

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14. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量．若 $| \vec{a} - \sqrt{2} \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为．

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15. 已知 $A ， B ， C$ 三点都在体积为 $\frac{500 π}{3}$ 的球 $O$ 的表面上，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，则球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作直线交两条渐近线于点 $A$ ， $B$ ，且 $\vec{A F_{1}} = \frac{3}{2} \vec{B F_{1}}$ ．若 $A$ 点在 $x$ 轴上的射影为 $M$ ，则 $\frac{S_{△ A F_{1} M}}{S_{△ B F_{1} F_{2}}} =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若 $m ， n \in [- 1 ， 1]$ ， $m + n \neq 0$ 时，有 $\frac{f (m) + f (n)}{m + n} > 0$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上是增函数；

(2)、解不等式 $f (x^{2} - 1) + f (1 - x) < 0$ ；

(3)、若存在实数 $x$ 使得 $f (x) \leq t^{2} - 5 t + 3$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = c o s (\frac{π}{2} - 2 ω x) - 2 \sqrt{3} c o s^{2} ω x + \sqrt{3} (0 < ω < 4)$

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{2}{3}$ ，且 $x_{0} \in (\frac{5}{12} π ， \frac{2}{3} π)$ ，再从下面①②③中选取一个作为条件，求 $f (x_{0} + \frac{π}{12})$ 的值．①函数的一个对称中心为 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ；②函数图象过点 $(- \frac{π}{12} ， - 2)$ ；③两条相邻对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

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19. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组： $[20 ， 30) ， [30 ， 40) ， . . . ， [80 ， 90]$ ，绘制出如下的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数；

(2)、先从得分在 $[60 ， 80)$ 的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率.

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20. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D A = D B = 1$ ．

(1)、求点 $B$ 到平面 $P A C$ 的距离；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值．

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21. 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价 $P (x)$ （元）与时间 $x$ （元）的函数关系近似满足 $P (x) = 1 + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为正实数）．该商品的日销售量 $Q (x)$ （个）与时间 $x$ （天）部分数据如下表所示：
第 $x$ 天
10
20
25
30
$Q (x)$ 个
110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下两种函数模型：① $Q (x) = a x + b$ ， ② $Q (x) = a | x - 25 | + b$ ，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 $Q (x)$ 与时间 $x$ 的关系，并求出该函数的解析式；

(3)、在（2）的情况下，求该商品的日销售收入 $f (x) (0 \leq x \leq 30 ， x \in N_{+})$ （元）的最小值．

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22. 已知点 $A ， F$ 分别为双曲线 $C ： x^{2} - y^{2} = a^{2} (a > 0)$ 的左顶点和右焦点，过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线第一象限部分交于点 $B$ ， $△ A B F$ 的面积为 $2 (\sqrt{2} + 1)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x - 1 (k \neq - \frac{1}{2})$ 与双曲线的左、右两支分别交于 $M$ ， $N$ 两点，与双曲线的两条渐近线分别交于 $P$ ， $Q$ 两点，记 $△ M O N$ ， $△ A P Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ （ $O$ 为坐标原点）．若 $S_{1} = λ S_{2}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围．

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第 $x$ 天	10	20	25	30
$Q (x)$ 个	110	120	125	120