广西钦州市2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-03-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若直线过点 $(\sqrt{3} ， - 3)$ 和点 $(0 ， - 4)$ ，则该直线的方程为

A、 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - 4$ B、 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 4$ C、 $y = \sqrt{3} x - 6$ D、 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$

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2. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若椭圆上一点 $P (x ， y)$ 到焦点 $F_{1}$ 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， t ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、0 B、-4 C、 $\frac{1}{2}$ D、4

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4. 我们知道，在日常学习与生活中养成根据现实世界的情景提出问题的习惯对培养自己的创新素养起着至关重要作用.关于实际情景“日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服.一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多衣服越干净”，提出的问题最恰当的是（）

A、在给定漂洗所用的清水量的前提下，选择什么牌子的洗衣粉能使衣服更干净？ B、在给定漂洗衣服的前提下，漂洗所用的清水量多少合适？ C、在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗时放多少衣物才能使衣服干净？ D、在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？

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5. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在双曲线C上且 $| P F_{1} | = 20$ ，则 $| P F_{2} |$ 等于（）

A、14 B、26 C、14或26 D、16或24

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6. 已知向量 $\vec{n_{1}} = (- 2 ， 0 ， - 2)$ ， $\vec{n_{2}} = (2 ， 2 ， 0)$ 分别为平面 $α$ 和平面 $β$ 的法向量，则平面 $α$ 与平面 $β$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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7. 已知圆O： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上有且只有两个点到直线l： $3 x - 4 y - 15 = 0$ 的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $[2 ， 4]$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $[3 ， 4)$

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8. 设 $(x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5})$ 是1，2，3，4，5的一个排列，若 $(x_{i} - x_{i + 1}) (x_{i + 1} - x_{i + 2}) < 0$ 对一切 $i \in {1 ， 2 ， 3}$ 恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（）

A、16 B、25 C、32 D、41

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二、多选题

9. 已知两条不重合的直线 $l_{1} ： y = k_{1} x + b_{1}$ ， $l_{2} ： y = k_{2} x + b_{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $k_{1} = k_{2}$ B、若 $k_{1} = k_{2}$ ，则 $l_{1} ∥ l_{2}$ C、若 $k_{1} k_{2} = 1$ ，则 $l_{1} ⊥ l_{2}$ D、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - 1$

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10. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，则下列b的取值能使以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆C有公共点的是（）

A、 $b = \sqrt{2}$ B、 $b = \sqrt{3}$ C、 $b = 2$ D、 $b = \sqrt{5}$

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11. 下列结论正确的是（）

A、两条不重合直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{a} = (2 ， 3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， - 3 ， 1)$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$ B、两个不同的平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2 ， 2 ， - 1)$ ， $\vec{v} = (- 3 ， 4 ， 2)$ ，则 $α ⊥ β$ C、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{m} = (3 ， 6 ， k)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则 $k = 15$ D、若 $\vec{A B} = (2 ， - 1 ， - 4)$ ， $\vec{A C} = (4 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{A P} = (0 ， - 4 ， - 8)$ ，则点Р在平面ABC内

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12. 天山社区将红树林中学的甲、乙、丙、丁4名红志愿者分别安排到A，B，C三个村民小组进行暑期社会实践活动，要求每个村民小组至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（）

A、共有18种安排方法 B、若甲、乙两名志愿者被安排在同一村民小组，则有6种安排方法 C、若两名志愿者被安排在A村民小组，则有24种安排方法 D、若甲志愿者被安排在A村民小组，则有12种安排方法

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三、填空题

13. 已知点 $P (m ， n)$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则 $m =$ ．

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14. 当直线l： $x - m y + m - 2 = 0$ 截圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 所得的弦长最短时，实数m的值为.

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15. 已知 $(x - 3) (x + 2)^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则实数 $a_{2}$ 的值为.

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16. “结题”是研究小组向老师和同学们报告数学建模研究成果并进行答辩的过程，结题会是展示研究小组“会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界”的重要场合.一般来说，结题会是结题的基本形式，小组长负责呈现研究的核心内容.假设你是研究小组的组长，研究的实际问题是“车辆的运行速度和刹车距离之间关系”，那么，为了准备结题会材料，你整理研究成果的核心内容是：.

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四、解答题

17. 已知点 $P (2 ， 4)$ 和直线l： $2 x + y + 1 = 0$ .

(1)、求经过点P且与l平行的直线方程；

(2)、求经过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

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18. 已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，左焦点 $F_{1}$ 和右焦点 $F_{2}$ 都在 $x$ 轴上，长轴长为12，离心率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $M$ 为椭圆 $C$ 上一点且在第一象限.若 $△ M F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，求点 $M$ 的坐标.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = D A = 2$ ， $D C = 1$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，点 $Q$ 在 $P M$ 上，且 $P Q = 2 Q M$ .

(1)、证明： $D Q ⊥$ 平面 $P A M$ ；

(2)、求平面 $P A M$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值.

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20. 用0，1，2，3， $⋯$ ， 9这十个数字.

(1)、可组成多少个三位数？

(2)、可组成多少个无重复数字的三位数？

(3)、可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？

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21. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 $60 °$ .

(1)、求线段 $A C_{1}$ 的长；

(2)、若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，用空间向量的一组基底 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} ， \vec{c}}$ 表示向量 $\vec{A_{1} B}$ .

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22. 已知直线l： $x - 2 y + 4 = 0$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 8 = 0$ 相交于A，B两点.

(1)、求圆心为 $D (- 3 ， 3)$ ，过A，B两点的圆D的方程；

(2)、求经过点A和点B且面积最小的圆的方程.

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