广西北海市2022-2023学年高二上学期数学期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2023-03-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 8 x^{2}$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、4

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的焦距为（）

A、8 B、12 C、6 D、4

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3. 若直线 $l_{1} ： x - y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x + a y - 3 = 0$ 平行，则实数a的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、2 D、1

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4. 已知直线 $3 x - 2 y - 6 = 0$ 经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{4 x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{4 y^{2}}{9} + x^{2} = 1$

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5. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D_{1}} =$ （）

A、0 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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6. 2022年11月11日下午，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化新冠肺炎疫情防控措施科学精准做好防控工作的通知》二十条．后疫情时代，北海市某中学为了广大师生能够更好地掌握关于新冠疫情防控注意事项，准备组织一次主题宣讲活动．特从某医院的3名医生和4名护士中，选出3人参加“新冠疫情防疫宣讲”主题活动．要求入选的3人中至少有一名医生，则不同的选取方案的种数是（）

A、20 B、25 C、31 D、34

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7. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B C = 2$ ， $A B = C C_{1} = 1$ ，则直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ ，点P是椭圆C上的一点，且 $t a n ∠ P A B = \frac{1}{4}$ ，则 $t a n ∠ A P B$ （）

A、 $- \frac{10}{9}$ B、 $- \frac{11}{10}$ C、 $\frac{11}{10}$ D、 $\frac{10}{9}$

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二、多选题

9. 某医院妇产科对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X~N（2，4），则下列结论正确的是（）

A、该正态分布的均值为2 B、该正态分布的标准差为4 C、 $P (X > 2) = \frac{1}{2}$ D、 $P (X > 3) = P (X < 1)$

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10. 点P是抛物线 $y^{2} = - 16 x$ 上一动点，若点 $Q (0 ， - 3)$ ，记点P到直线 $x = 4$ 的距离为d，则 $| P Q | + d$ 的值可以取（）

A、7 B、 $4 \sqrt{2}$ C、5 D、 $2 \sqrt{5}$

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11. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆C的半径为16 B、圆C截x轴所得的弦长为4 $\sqrt{3}$ C、圆C与圆E： ${(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相外切 D、若圆C上有且仅有两点到直线 $3 x + 4 y + m = 0$ 的距离为1，则实数m的取值范围是 $(19 ， 24) \cup (- 26 ， - 21)$

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12. 下列说法中正确的是（）

A、将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法 B、 $4 8^{2022} - 3$ 被7除后的余数为2 C、若 $(x + 1)^{4} + (x - 1)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} = - 8$ D、抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，则点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 内的次数 $ξ$ 的均值为 $\frac{2}{3}$

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三、填空题

13. ${(x - 2)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是.

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14. 已知向量 $\vec{m} = (2 ， 4 ， a)$ ， $\vec{n} = (- 1 ， b ， 3)$ ，若 $\vec{n} = λ \vec{m}$ ，则 $| \vec{n} - \vec{m} | =$ .

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15. 若直线l过点 $(- 1 ， 2)$ ，且与双曲线 $9 x^{2} - y^{2} = 9$ 有且只有一个公共点，则满足条件的直线有条．

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16. 某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为 $\hat{y} = 6.3 x + 6.8$ ，则看不清的数据★的值为．

x

2

3

4

5

6

y

19

25

★

40

44

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四、解答题

17. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - m = 0$ ．

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $l ： x + y + 3 = 0$ 交于M，N两点，且 $| M N | = 2 \sqrt{3}$ ，求 $m$ 的值．

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18. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，其准线方程为 $x = - 2$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、不过原点 $O$ 的直线 $l ： y = x + m$ 与抛物线交于不同的两点 $P ， Q$ ，且 $O P ⊥ O Q$ ，求 $m$ 的值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD是菱形， $∠ D A B = 120 °$ ， $P A = A D = 2$ ， $P C = P D = 2 \sqrt{2}$ ．点E是棱PC的中点．

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ ；

(2)、求平面PAB与平面BDE所成锐角二面角的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上任意一点 $P$ 到两个焦点的距离之和为 $8$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M (2 ， 1)$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程．

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21. 自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．某金融机构为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从某市市民中随机抽取100名进行调查，得到部分统计数据如下表：

手机支付
现金支付
合计
60岁以下
40
10
50
60岁以上
30
20
50
合计
70
30
100
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、根据以上数据，判断是否有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；

(2)、将频率视为概率，现从该市60岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中选择“现金支付”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ ．

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22. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ ，过点 $D (2 ， 0)$ 的直线l与该双曲线的两支分别交于 $M ， N$ 两点，设 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ ．

(1)、若 $b = \sqrt{2}$ ，点O为坐标原点，当 $O M ⊥ O N$ 时，求 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值；

(2)、设直线l与y轴交于点E， $\vec{E M} = λ \vec{M D}$ ， $\vec{E N} = μ \vec{N D}$ ，证明： $λ + μ$ 为定值．

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	手机支付	现金支付	合计
60岁以下	40	10	50
60岁以上	30	20	50
合计	70	30	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

x	2	3	4	5	6
y	19	25	★	40	44