广东省汕尾市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， - 2 ， 1)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(4 ， - 2 ， 4)$ B、 $(2 ， - 1 ， 2)$ C、 $(3 ， 0 ， 3)$ D、 $(1 ， - 2 ， 1)$

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2. 直线 $l ： x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $13 5^{∘}$

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3. 数列 $2$ 、 $0$ 、 $2$ 、 $0$ 、 $⋯$ 的通项公式可以为（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} + 1$ B、 $a_{n} = 2 - 2 \times {(- 1)}^{n + 1}$ C、 $a_{n} = 2 c o s (n - 1) π$ D、 $a_{n} = | 2 c o s \frac{(n - 1) π}{2} |$

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4. 已知直线 $l$ 经过点 $M (2 ， 4)$ ，且与直线 $x - 2 y + 4 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x - 2 y + 1 = 0$ B、 $x - 2 y - 1 = 0$ C、 $2 x - y + 2 = 0$ D、 $2 x + y - 8 = 0$

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5. 已知矩形 $A B C D ， P$ 为平面 $A B C D$ 外一点，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M ， N$ 分别为 $P C ， P D$ 上的点， $\vec{P M} = 2 \vec{M C} ， \vec{P N} = \vec{N D} ， \vec{N M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{5}{6}$

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6. 已知空间直角坐标系中的点 $P (1 ， 1 ， 1)$ ， $A (1 ， 0 ， 1)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ，则点P到直线AB的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 如图，在梭长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G$ 分别为 $D D_{1} ， B D ， B B_{1}$ 的中点，则 $E F$ 与 $C G$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{15}$

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8. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{m^{2}}$ +y²=1（m＞1）与双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{n^{2}}$ –y²=1（n＞0）的焦点重合，e₁ ， e₂分别为C₁ ， C₂的离心率，则（）

A、m＞n且e₁e₂＞1 B、m＞n且e₁e₂＜1 C、m＜n且e₁e₂＞1 D、m＜n且e₁e₂＜1

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二、多选题

9. 已知公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 0 ， S_{7} = a_{4} + 12$ ，则（）

A、 $d = 1$ B、 $a_{n} = n - 2$ C、 $a_{4} + a_{10} = a_{12}$ D、 $S_{n} = n^{2} - 3 n$

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10. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$ 的交点为 $A ， B$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆 $O_{2}$ 的半径为4 B、直线 $A B$ 的方程为 $x - 2 y = 0$ C、 $| A B | = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、线段 $A B$ 的垂直平分线方程为 $2 x + y + 2 = 0$

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11. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是各条棱长均等于1的正三棱柱， $D ， E ， F ， G$ 分别为 $C C_{1} ， C B ， A_{1} C_{1} ， A_{1} B$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、 $G F / / D E$ B、 $G F ⊥ B_{1} C$ C、异面直线 $G F$ 与 $A A_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、直线 $D E$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{14}$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左､右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，直线 $y = \frac{\sqrt{6}}{6} x$ 与双曲线 $C$ 相交于 $P ， Q$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、双曲线 $C$ 的渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、直线 $P A_{1} ， P A_{2}$ 的斜率之积为 $\frac{1}{3}$ D、 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1 ， 5) ， \vec{b} = (1 ， - 3 ， m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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14. 已知 $△ A O B$ 的三个顶点分别为 $A (4 ， 0) ， O (0 ， 0) ， B (0 ， 4)$ ，则 $△ A O B$ 外接圆的标准方程为.

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15. 已知倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，且与 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点（点 $P$ 在第一象限），若 $| P F | = 4$ ，则 $| Q F | =$ .

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16. 螺旋线是一类美妙的曲线，用下面的方法可画出如图所示的螺旋线：先作边长为1的正 $△ A B C$ ，分别记射线 $A C$ ， $B A ， C B$ 为 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ ；以 $C$ 为圆心､ $C B$ 为半径作的劣弧 $B C_{1}$ 交 $l_{1}$ 于点 $C_{1}$ ；以 $A$ 为圆心､ $A C_{1}$ 为半径作的劣弧 $C_{1} A_{1}$ 交 $l_{2}$ 于点 $A_{1}$ ；以 $B$ 为圆心､ $B A_{1}$ 为半径作的劣弧 $A_{1} B_{1}$ 交 $l_{3}$ 于点 $B_{1}$ ；依此规律，得到一系列劣弧所形成的螺旋线.劣弧 $B C_{1}$ 长 $a_{1}$ ，劣弧 $C_{1} A_{1}$ 长 $a_{2}$ ，劣弧 $A_{1} B_{1}$ 长 $a_{3} ， ⋯$ 构成数列 ${a_{n}}$ .记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{n} =$ .

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{7} = 28$ ， $S_{15} = 120$ .

(1)、求等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ ；

(2)、求证数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列，并求出其前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，满足 $a = 2 c o s B (b c o s C + c c o s B)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 ， a + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是 $A_{1} B ， B_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A C D_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A C D_{1} ⊥$ 平面 $D_{1} B_{1} B D$ .

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20. 已知直线 $l ： y = k x (k \neq 0)$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、若 $| A B | = \sqrt{14}$ ，求 $k$ ；

(2)、在 $x$ 轴上是否存在点 $M$ ，使得当 $k$ 变化时，总有直线 $M A$ 、 $M B$ 的斜率之和为0，若存在，求出点 $M$ 的坐标：若不存在，说明理由．

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21. 如图，在四棱锥 $C - A B E D$ 中， $A B = A C = 2 D E = 2$ ， $∠ B A C = 6 0^{∘}$ ， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D E ∥ A B$ ，三棱锥 $E - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求 $A D$ 的长度；

(2)、已知 $F$ 是线段 $B C$ 上的动点，问是否存在点 $F$ ，使得平面 $B E D$ 与平面 $E D F$ 夹角的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{19}}{19}$ ？若存在，请确定点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 4$ .过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $△ A B F_{1}$ 的周长为 $8 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过原点 $O$ 作一条垂直于 $l$ 的直线 $l_{1} ， l_{1}$ 交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，求 $\frac{| A B |}{| P Q |}$ 的取值范围.

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