浙江省衢州五校联盟2022-2023学年高二普通班上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {2 ， 3 ， 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${3}$ D、 ${2}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的焦距是（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (2 ， x ， y)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x - y$ 的值是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、2

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4. 为评估一种新品种玉米的种植效果，选取n块地作试验田，这n块地的亩产量（单位： $k g$ ）分别为 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ ，下面给出的指标中可以用来评估这种玉米亩产量稳定程度的是（）

A、 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 平均数 B、 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的众数 C、 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的中位数 D、 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的标准差

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5. “方程 $\frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{5 - 2 m} = 1$ 表示椭圆”是“ $- 2 < m < \frac{5}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$

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7. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 20$ ， $a_{2} + a_{4} = 10$ ，记 $T_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积，则 $T_{n}$ 的最大值是（）

A、256 B、512 C、1024 D、2048

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} | x^{2} - 3 x + 2 | ， 0 \leq x \leq 3 \\ 2 e^{3 - x} ， x > 3 \end{array}$ ，如果关于 $x$ 的方程 $m {[f (x)]}^{2} + n f (x) + 1 = 0$ 恰有11个不同的实数根，那么 $m \cdot n$ 的值等于（）

A、 $- 9$ B、 $- 7$ C、7 D、9

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二、多选题

9. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（）

A、圆锥的高是 $\sqrt{2}$ B、圆锥的母线长是4 C、圆锥的表面积是 $16 π$ D、圆锥的体积是 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x - c o s 2 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、若 $f (x + θ)$ 为奇函数，则 $θ$ 的一个可取值是 $\frac{π}{4}$ C、 $f (x)$ 的一条对称轴可以是直线 $x = \frac{π}{3}$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值是1

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11. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线 $C$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、对任意实数 $k$ ，均有 $y_{1} \cdot y_{2} = - 4$ B、存在实数 $k$ ，使得 $| A B | = \frac{23}{6}$ C、若 $\frac{| A F |}{| B F |} = 3$ ，则 $k = \pm \sqrt{3}$ D、若 $| A B | = 8$ ，则 $A ， B$ 中点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是3

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $E F$ 是棱 $B C$ 上的一条线段，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，点 $Q$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点，点 $P$ 是体对角线 $B D_{1}$ 上的动点（包括端点），则下列结论正确的是（）

A、存在某一位置， $P Q$ 与 $E F$ 垂直 B、三棱锥 $E - P Q F$ 体积的最大值是 $\frac{2}{3}$ C、当 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 最大时，三棱锥 $E - P Q F$ 的外接球表面积是 $746 π$ D、二面角 $P - E F - Q$ 的正切值是 $\frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 若 $2^{a} = 3$ ， $b = l o g_{3} 4$ ，则 $a b =$ .

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14. 德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图像表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组 $(a ， b)$ 代表复数 $a + b i$ ，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样的“代数化”.若复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + 2 i) = 3 + i$ ，则复数 $z$ 的模是.

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15. 已知实数 $x ， y$ 满足 $x > - 1 ， y > - \frac{3}{2} ， 2 x + 4 y = 3$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 y + 3}$ 的最小值是.

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16. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 的直线与双曲线 $C$ 的左支交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $\vec{M N} = 3 \vec{M F_{1}}$ ，线段 $M F_{2}$ 的中垂线恰好经过点 $N$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是.

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四、解答题

17. 从① $(2 c - b) c o s A = a c o s B$ ， ② $2 a c o s C + c = 2 b$ ， ③ $c s i n C - a s i n A = (c - b) s i n B$ 这三个条件中任选一个，补充到下面横线处并解答.
在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____.

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 已知过点 $A (1 ， 1)$ 的直线被圆 $C ： x^{2} + y^{2} + m x - 5 = 0 (m \in R)$ 截得的弦长的最大值为 $6$ ，且点 $A$ 在圆 $C$ 内.

(1)、求实数 $m$ 的值及圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $P$ 为直线 $l ： x - y + 3 = 0$ 上一动点，点 $Q$ 是圆 $C$ 上的动点，求 $P Q$ 长度的最小值.

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19. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间 $[50 ， 100]$ ，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中 $a$ 的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间 $[90 ， 100]$ 的概率.

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20. 如图，等腰梯形 $A B C D$ 中， $B C = C D = D A = \frac{1}{2} A B$ ，点M是AB的中点，将 $△ B C M$ 沿着CM翻折到 $△ P C M$ ，使得平面 $P C M ⊥$ 平面AMCD，E、F分别为CM、PA的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面PCD；

(2)、求二面角 $E - P A - D$ 的余弦值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $2 S_{n} = 3 (a_{n} - n)$

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值；

(2)、求证：数列 ${a_{n} + \frac{3}{2}}$ 为等比数列；

(3)、记 $b_{n} = \frac{3^{n + 2}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 1$ .

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左、右顶点分别为A、B，右焦点为F.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图，过右焦点F作不与x轴重合的直线交椭圆于C、D两点，直线AD和BC相交于点M，求证：点M在定直线 $l$ 上；

(3)、若直线AC与（2）中的定直线 $l$ 相交于点N，在x轴上是否存在点P，使得 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ .若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

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