浙江省衢温51联盟2022-2023学年高二创新班数学上学期期末联考试卷

试卷更新日期：2023-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 4} ， B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 A $\cap$ B =（）

A、{2} B、{2，3} C、{3，4} D、{2，3，4}

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2. “向量 $\vec{a} = (- 1 ， \sqrt{3})$ 是直线 $l$ 的一个方向向量”是“直线 $l$ 倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要

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3. 已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f ′(x)的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 锐角 $θ$ 满足 $t a n θ = 2 s i n 2 θ$ ，则 $c o s 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 $π$ 的范围是： $3.1415926 < π < 3.1415927$ ，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）

A、24个 B、36个 C、72个 D、60个

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为0，设 $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_{1} = S_{8}$ ，则集合 ${x | x = S_{k} ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， 2023}$ 中元素的个数为（）

A、2022 B、2021 C、2019 D、2015

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7. 已知 $a = \frac{e^{0.01} - 1}{e^{0.01}}$ ， $b = t a n 0.01$ ， $c = - l n \frac{99}{100}$ ，其中e为自然对数的底数，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $B$ 为直线 $l ： \sqrt{3} x - 2 y + 6 = 0$ 与 $y$ 轴的交点，点 $A$ 是直线 $l$ 上异于 $B$ 的定点， $P$ 是椭圆 $C$ 上一动点，且 $△ P A B$ 面积最大值是它的最小值的 $5$ 倍.当椭圆 $C$ 的四个顶点构成四边形面积最大值时，椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a < 2 b < c$ ，且 $a + b + c = 0$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $\frac{1}{a b} > \frac{1}{b c}$ B、 $a < b$ C、 $a b^{2} < c b^{2}$ D、 $a b > a c$

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10. 某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照 $[30 ， 40)$ 、 $[40 ， 50)$ 、 $[50 ， 60)$ 、 $[60 ， 70)$ 、 $[70 ， 80)$ 、 $[80 ， 90)$ 、 $[90 ， 100]$ 分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于 $80$ 分的学生有 $54$ 人，则以下结论中正确的是（）

A、此次测试众数的估计值为 $85$ B、此次测试分数在 $[50 ， 60)$ 的学生人数为 $6$ 人 C、随机抽取的学生测试分数的第 $55$ 百分位数约为 $80$ D、平均数 $m$ 在中位数 $n$ 右侧

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11. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) + g (x - 3) = 3$ ， $f (x - 1) - g (- x) = 1$ ，若 $g (- x - 1)$ 为偶函数，则（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 B、 $g (- 2) = 2$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(- 2 ， 1)$ 对称 D、 $g (- 1) + g (0) + g (1) = 3$

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12. 如图，几何体 $Ω$ 为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为 $P$ ，圆柱的上、下底面的圆心分别为 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ，几何体 $Ω$ 的外接球包含圆锥的顶点与底面圆周，以及圆柱的底面圆周． $S$ 点为圆 $O_{1}$ 上任意一点， $A B$ 为圆 $O_{2}$ 的一条弦，已知 $O_{1} O_{2} = 2 P O_{1} = 4$ ， $A B = 6$ ，则（）

A、该组合体外接球表面积为 $64 π$ B、存在 $S$ 点使得 $P S ⊥ A B$ C、若 $S A ⊥$ 圆 $O_{2}$ 所在平面， $A \in$ 平面 $α$ ， $P S ∥$ 平面 $α$ ，则平面 $α$ 与圆柱 $O_{1} O_{2}$ 相交的轨迹的长半轴为6 D、记直线 $S A$ ， $S B$ 与圆 $O_{2}$ 所在平面夹角分别 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ，则 $\frac{c o s^{2} θ_{1} \cdot s i n^{2} θ_{2} + c o s^{2} θ_{2} \cdot s i n^{2} θ_{1}}{s i n^{2} θ_{1} \cdot s i n^{2} θ_{2}} \in [\frac{3}{2} ， \frac{9}{2}]$

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三、填空题

13. 复数 $z = (2 - i)^{2}$ ，则 $| z | =$ ．

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14. 已知 ${(x - 1)}^{4} + 2 x^{5} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + ⋯ + a_{5} {(x + 1)}^{5}$ ，则 $a_{3} =$ .

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15. 在棱长为4正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 、 $Q$ 分别是平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 、 $A B C D$ 上动点，且满足 $| B P | = \sqrt{17}$ ，点 $Q$ 到直线 $A D$ 距离等于 $| B Q |$ ，则 $| P Q |$ 最小值为.

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16. 已知 $m$ ， $n$ 满足方程 $m^{2} + n^{2} = 4$ ，函数 $f (x) = x^{2} - m x + 2$ ， $g (x) = x^{2} - n x + 2$ ，记 $H (m ， n)$ 为函数 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$ 的最大值，则 $H (m ， n)$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{5} = 15$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在① $\frac{\sqrt{3} (b - c c o s A)}{s i n C} = a$ ， ② $\frac{a}{b} = \frac{1}{2} (\frac{t a n C}{t a n B} + 1)$ ， ③ $c s i n B = b c o s (C - \frac{π}{6})$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足____.

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $18 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 的最小值.

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19. 某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表.

良好以下
良好及以上
合计
男
800
1100
女
100
合计
1200
1600
附表及公式：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
其中 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

(1)、将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关；

(2)、将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ .

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20. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，三棱锥 $A_{1} - A B_{1} C$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $△ A B_{1} C$ 的面积为4， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，且 $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、求点 $B$ 到平面 $A B_{1} C$ 的距离；

(2)、若 $B B_{1} = B A$ ，且平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求二面角 $A - B_{1} C - A_{1}$ 的余弦值.

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21. 已知 $F_{1} (- 6 ， 0)$ ， $F_{2} (6 ， 0)$ ，点 $P$ 满足 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 8$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ，且与曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求斜率 $k$ 的取值范围；

(2)、在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$ ，使得无论直线 $l$ 绕点 $F_{2}$ 怎样转动，总有 $| \vec{M A} | \cdot S_{△ M B F_{2}} = | \vec{M B} | \cdot S_{△ M A F_{2}}$ 成立？如果存在，求点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x - (a + b) l n x - \frac{a b}{x}$ ， $a$ ， $b \in R$ .

(1)、若 $b = - 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 不单调，且 $f (1) < 0$ .
（i）证明： $f (a) + f (b) < - 2 l n a b$ ；
（ii）若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{3} + a b (\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{3}}) > 3 (a + b) - \frac{a b (a + b)}{b^{2} + 2 a b + 3 a^{2}}$ .

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	良好以下	良好及以上	合计
男	800		1100
女		100
合计	1200		1600

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828