浙江省宁波市九校2022-2023学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y + 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 设一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的均值为2，方差为 $0.01$ ，则数据 $10 x_{1} ， 10 x_{2} ， \dots ， 10 x_{n}$ 的均值和方差分别为（）

A、 $20 ； 0.01$ B、 $20 ； 0.1$ C、 $200 ； 1$ D、 $20 ； 1$

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3. 设 $x ， y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x ， 2 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， y ， 1) ， \vec{c} = (1 ， - 2 ， 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c} ， \vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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4. 对空间中任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A ， B ， C$ ，能得到 $P$ 在平面 $A B C$ 内的是（）

A、 $\vec{A P} = 2 \vec{O A} - \vec{O B} - \vec{O C}$ B、 $\vec{P B} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ C、 $\vec{C P} = 2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} - 4 \vec{O C}$ D、 $\vec{A B} = 2 \vec{A P} + \vec{O C}$

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5. 过双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 内一点 $M (1 ， 1)$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线交双曲线于 $A ， B$ 两点，弦 $A B$ 恰好被 $M$ 平分，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f (x) = l n x - 3 f^{'} (1) x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 已知椭圆 $C$ 和双曲线 $E$ 具有相同的焦点，离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点､顶点､中心平分为若干条等长线段，则（）

A、 $e_{1} e_{2} = 1$ B、 $e_{1} e_{2} = \frac{4}{3}$ C、 $e_{1} = 3 e_{2}$ D、 $e_{1} + e_{2} = \frac{5}{2}$

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8. 已知 $f (x) = e^{x} + a x + b \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，其中 $a ， b$ 为常数且 $a \neq 0$ ，则（）

A、 $a b \geq 0$ B、 $b > - 1$ C、 $a - b \leq a l n (- a)$ D、 $b - a \leq - a l n a$

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二、多选题

9. 若动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）其中点 $A ， B$ 是不重合的两个定点），则点 $P$ 的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 的轨迹为圆 $C$ ，则（）

A、圆 $C$ 的方程为 $(x - 6)^{2} + y^{2} = 32$ B、若圆 $C$ 与线段 $A B$ 交于点 $M$ ，则 $\frac{| A M |}{| M B |} = \sqrt{2}$ C、圆 $C$ 上有且仅有两个点到直线 $3 x + 4 y + 2 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、设动点 $P (m ， n)$ ，则 $m^{2} + n^{2} - 6 m - 8 n$ 的最大值为 $40 \sqrt{2} + 32$

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10. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为 $C C_{1} ， A_{1} D_{1}$ 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A、 $B F = \frac{3}{2}$ B、 $\vec{B C_{1}} ⊥ \vec{E F}$ C、平面 $B E F$ 的一个法向量为 $(2 ， 3 ， 4)$ D、平面 $B E F$ 与平面 $B A_{1} F$ 所成角的正切值为 $\frac{7}{3}$

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11. 已知抛物线 $x = 2 a y^{2} (a \neq 0)$ ，过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线的准线方程为 $x = - \frac{a}{2}$ B、 $y_{1} y_{2} = - \frac{1}{16 a^{2}}$ C、若 $| A F | = 2 | B F |$ ，则 $l$ 的斜率为 $\pm 2 \sqrt{2}$ D、 $C D$ 是过焦点且与 $A B$ 垂直的弦，则 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |} = 2 | a |$

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12. 已知 $f (x) = x^{\frac{2022}{x}} (x > 0)$ ，若整数 $a ， b ， c$ 满足 $2 \leq a < b < c$ ，则 $f (a) ， f (b) ， f (c)$ 的大小关系可能为（）

A、 $f (a) < f (b) < f (c)$ B、 $f (c) < f (b) < f (a)$ C、 $f (c) = f (a) < f (b)$ D、 $f (c) < f (b) = f (a)$

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三、填空题

13. 甲乙丙三人进行射击练习，已知甲乙丙击中目标的概率分别为 $0.4 ､ 0.5 ､ 0.8$ ，则三人中至少有两人击中目标的概率为.

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14. 过点 $(0 ， 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{6} + y^{2} = 1$ 交于 $P ， Q$ 两点，则 $| P Q |$ 的最大值是.

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15. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为边长为2的正方形， $P B = P C = B C ， P A = P D = \sqrt{2} A B ， M ， N$ 分别为 $A B$ 和 $P C$ 的中点，则平面 $D M N$ 上任意一点到底面 $A B C D$ 中心距离的最小值为.

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16. 已知不等式 $e^{2 x} - k x^{2} + x \geq l n x + \frac{1}{2} l n k (k > 0)$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 2022年10月16日至10月22日中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开，会后各地掀起了学习贯彻二十大精神的热潮.某中学在进行二十大精神学习讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，其中成绩分组区间是：第一组 $[45 ， 55)$ ，第二组 $[55 ， 65)$ ，第三组 $[65 ， 75)$ ，第四组 $[75 ， 85)$ ，第五组 $[85 ， 95]$ ，并整理得到如下频率分布直方图，已知图中前三个组的频率依次构成等差数列.

(1)、求这部分学生成绩的中位数､平均数（保留一位小数）；

(2)、为了更好的了解学生对二十大精神的掌握情况，学校决定在成绩较高的第四､五组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人作为校二十大精神的宣传员，求85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率.

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18. ①圆 $C$ 与直线 $l_{1} ： x + y - 1 = 0$ 相切；②圆 $C$ 被直线 $l_{2} ： x + y - 3 = 0$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{6}$ ；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.
已知圆 $C$ 经过点 $A (1 ， 0)$ ，圆心 $C$ 在直线 $l ： x + y - 5 = 0$ 上，且____.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知圆 $C^{'}$ 与圆 $C$ 关于直线 $l_{1}$ 对称，过原点 $O$ 的直线 $m$ 交圆 $C^{'}$ 于 $M ， N$ 两点，求弦 $M N$ 中点 $Q$ 的轨迹方程.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x (a \in R)$

(1)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq x l n x + x$ 在 $(0 ， + ∞)$ 恒成立，求 $a$ 的最小值.

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20. 已知直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ， $C A = 2 A B = 4 ， D ， E$ 分别是 $A C ， B C$ 边中点，将 $△ C D E$ 和 $△ B A E$ 分别沿着 $D E ， A E$ 翻折，形成三棱锥 $P - A D E ， M$ 是 $A D$ 中点

(1)、证明： $P M ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若直线 $P M$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $Q E$ 与平面 $P A E$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{4}$ ，求 $Q M$ 的值.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ ，左右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交双曲线于 $M ， N$ 两点，以 $M N$ 为直径的圆恰好经过右顶点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ 是直线 $M N$ 上异于 $M ， N$ 的一点，连接 $P A_{1} ， P A_{2}$ 分别与双曲线相交于 $Q ， R$ ，当 $y$ 轴正半轴上的虚轴端点 $B$ 到直线 $Q R$ 的距离最大时，求直线 $Q R$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x (x > 0)$

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的零点的个数；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $| x_{1} - x_{2} | < \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2}}{e^{2} + 1} \sqrt{(1 - a - e) (1 - a + e) - 1}$

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