四川省内江市2022-2023学年高二上学期期末考试数学（理）试题

试卷更新日期：2023-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（）

A、40 B、36 C、34 D、32

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2. 已知向量 $\vec{m} = (- 3 ， 2 ， 4)$ ， $\vec{n} = (1 ， - 3 ， - 2)$ ，则 $| \vec{m} + \vec{n} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、8 C、3 D、9

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3. 如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{5}{2}$

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4. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、8 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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5. 经过两点 $A (4 ， 2 y + 1)$ ， $B (2 ， - 3)$ 的直线的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $y =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 3$ C、0 D、2

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6. 为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（）

A、讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B、讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C、讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D、讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差

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7. 两条平行直线 $2 x - y + 3 = 0$ 和 $a x - 3 y + 4 = 0$ 间的距离为 $d$ ，则 $a$ ， $d$ 分别为（）

A、 $a = 6$ ， $d = \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $a = - 6$ ， $d = \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $a = - 6$ ， $d = \frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $a = 6$ ， $d = \frac{\sqrt{5}}{3}$

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8. 若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m，n，则满足 $m^{2} + n^{2} < 25$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{13}{36}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{12}$

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9. 已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（）

A、若m⊥α，n⊥α，则m//n B、若α⊥β， $l ⊂ α$ ，则l⊥β C、若l⊥α， $m \subset α$ ，则l⊥m D、若l//α，l⊥β，则α⊥β

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10. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知 $Δ A B C$ 的顶点 $A (0 ， 0) ， B (0 ， 2) ， C (- 6.0)$ ，则其欧拉线的一般式方程为（）

A、 $3 x + y = 1$ B、 $3 x - y = 1$ C、 $x + 3 y = 0$ D、 $x - 3 y = 0$

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11. 已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1} = B_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，平面 $B E D_{1}$ 交棱 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，下列命题错误的是（）

A、四棱锥 $B_{1} - B E D_{1} F$ 的体积恒为定值 B、存在点 $E$ ，使得 $B_{1} D ⊥$ 平面 $B D_{1} E$ C、存在唯一的点 $E$ ，使得截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长取得最小值 D、对于棱 $C C_{1}$ 上任意一点 $E$ ，在棱 $A D$ 上均有相应的点 $G$ ，使得 $C G ∥$ 平面 $E B D_{1}$

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二、填空题

13. 已知 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 0 \\ y - 2 \leq 0 \\ x + y - 2 \geq 0 \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值是.

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14. 直线 $l$ 与圆 $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $A (0 ， 1)$ ．若 $| A B | = \sqrt{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为．

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15. 已知 $E$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $D D_{1}$ 的中点，过 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 三点作平面 $α$ 与平面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 相交，交线为 $l$ ，则直线 $l$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为.

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16. 设 $m \in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x + m y = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x ， y)$ ，则 $△ P A B$ 面积的最大值是．

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三、解答题

17. 一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料.

日期	第一年	第二年	第三年	第四年
优惠金额x（千元）	10	11	13	12
销售量y（辆）	22	24	31	27

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{p} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{e} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x^{\frac{z}{l}} - n (\bar{x})^{z}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、求出

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(2)、若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y(辆)的值.

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18. 已知圆C经过 $A (6 ， 1) ， B (3 ， - 2)$ 两点，且圆心C在直线 $x + 2 y - 3 = 0$ 上．

(1)、求经过点A，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；

(2)、求圆C的标准方程；

(3)、斜率为 $- \frac{3}{4}$ 的直线l过点B且与圆C相交于 $E ， F$ 两点，求 $| E F |$ ．

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19. 直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ A C B = 60 °$ ， $A B = \sqrt{3} ， B C = 1 ， A_{1} C = 2 \sqrt{7} ， E ， F$ 分别是棱 $A_{1} C ， A B$ 的中点.

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面 $A_{1} A D$ ：

(2)、求三棱锥 $F - A C A_{1}$ 的体积.

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20. 某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $⋯$ ， $[90 ， 100]$ 后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

(1)、求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)、根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；

(3)、若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．

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21. 如图，已知正方形 $A B C D$ 和矩形 $A C E F$ 所在的平面互相垂直， $A B = \sqrt{2}$ ， $A F = 1$ ， $M$ 是线段 $E F$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A C E F ⊥$ 平面 $B D F$ ；

(2)、求证： $D M ⊥$ 平面 $B E F$ ；

(3)、求二面角 $A - D F - B$ 的大小．

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22. 已知圆 $M ： (x - 3)^{2} + y^{2} = 9$ ．设 $D (2 ， 0)$ ，过点 $D$ 作斜率非 $0$ 的直线 $l_{1}$ ，交圆 $M$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点．

(1)、过点 $D$ 作与直线 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ ，交圆 $M$ 于 $E F$ 两点，记四边形 $E P F Q$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

(2)、设 $B (6 ， 0)$ ，过原点 $O$ 的直线 $O P$ 与 $B Q$ 相交于点 $N$ ，试讨论点 $N$ 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．

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