山西省吕梁市孝义市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-03-02 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} + a_{3} = 2 ， S_{4} = 6$ ，则 $q =$ （）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
2. 已知函数 $f (x) = l n x - x^{2}$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (1)$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

查看试题解析
3. 数列0， $\frac{5}{2}$ ， $- \frac{8}{3}$ ， …的通项公式可以为（）

A、 $a_{n} = \frac{n}{2} - \frac{1}{2}$ B、 $a_{n} = n + \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ C、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} n + \frac{1}{n}$ D、 $a_{n} = \frac{5 n}{2} - \frac{5}{2}$

查看试题解析
4. 已知定义在 $(0 ， 3]$ 上的函数 $f (x)$ 的图象如图，则不等式 $f^{'} (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(0 ， 1) ∪ (2 ， 3)$

查看试题解析
5. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (1 ， m) (m > 0)$ 到其焦点的距离为5，则实数 $m$ 的值是（）

A、-4 B、2 C、4 D、8

查看试题解析
6. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升．”在该问题中前5天共分发多少升大米？（）

A、1170 B、1440 C、1512 D、1772

查看试题解析
7. $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{c o s x}$ 的导函数，则（）

A、 $f^{'} (π) = - 2 π$ B、 $f^{'} (π) = π^{2}$ C、 $f^{'} (0) = - 1$ D、 $f^{'} (0) = 1$

查看试题解析
8. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， M，N分别为 $P C$ ， $P D$ 上的点，且 $\vec{P M} = 2 \vec{M C}$ ， $\vec{P N} = \vec{N D}$ ，若 $\vec{N M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{5}{6}$

查看试题解析
9. 用数学归纳法证明等式 $(n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯ (n + n) = 2^{n} \cdot 1 \cdot 3 ⋯ ⋯ (2 n - 1) (n \in N^{*})$ ，从 $k$ 到 $k + 1$ 左端需要增乘的代数式为（）

A、 $\frac{2 k + 3}{k + 1}$ B、 $\frac{2 k + 1}{k + 1}$ C、 $2 k + 1$ D、 $2 (2 k + 1)$

查看试题解析
10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $3 a_{n} - 2 a_{n - 1} = a_{n + 1}$ ，且 $a_{1} = 0$ ， $a_{6} = 2023$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、 $\frac{2023}{31}$ B、 $\frac{2023}{33}$ C、 $\frac{2023}{63}$ D、 $\frac{2023}{65}$

查看试题解析
11. 设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F ，过F的直线l与抛物线交于点A，B ，与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 交于点P，Q ，其中点A，P在第一象限，则 $2 | A P | + | Q B |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 3$ B、 $2 \sqrt{2} + 5$ C、 $4 \sqrt{2} + 5$ D、 $4 \sqrt{2} + 3$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a l n (a x + a) - a ， (a > 0)$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ D、 $(0 ， e)$

查看试题解析

二、填空题

13. 函数 $f (x) = x e^{x}$ 的极值点为．

查看试题解析
14. 若函数 $f (x) = x^{3} + (a - 1) x^{2} + 3 a x$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 为偶函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为．

查看试题解析
15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{11} + a_{12} + a_{13} > 0$ ， $a_{10} + a_{15} < 0$ ，记 $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则当 $S_{n} S_{n + 1} < 0$ 时，n的取值为.

查看试题解析
16. 对正整数n，函数 $φ (n)$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得 $φ (441) =$ ，数列 ${n φ (7^{n})}$ 的前n项和 $S_{n} =$ ．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x + b$ ，当 $x = 2$ 时， $y = f (x)$ 有极小值 $- \frac{4}{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 4 ， 1]$ 上的最大值和最小值.

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n} - 1}$ 是递增的等比数列， $a_{2} = 5$ 且 $a_{3} + a_{4} = 26$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
19. 如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是 $120km$ ，在岸边距点B $300km$ 的点A处有一批药品要尽快送达海岛．已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为 $100km$ ，快艇时速为 $50km$ ．设点C到点B的距离为x．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ．）

(1)、写出运输时间 $t (x)$ 关于x的函数；

(2)、当点C选在何处时运输时间最短？

查看试题解析
20. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2} - 1$ ， $a_{3}$ 成等比数列，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $b_{1} = \frac{1}{2}$ ， $2 S_{n + 1} = 2 S_{n} + b_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = b_{n} + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{7}{6}$ ．

查看试题解析
21. 已知圆 $N$ 经过点 $A (3 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 3)$ ，且它的圆心在直线 $3 x - y - 2 = 0$ 上.

(1)、求圆 $N$ 关于直线 $x - y + 3 = 0$ 对称的圆的方程；

(2)、若点 $D$ 为圆 $N$ 上任意一点，且点 $C (3 ， 0)$ ，求线段 $C D$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} a x^{2} + (a + 1) x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $f (x)$ 图象上不重合的两点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} > x_{2})$ .证明： $k_{A B} > f' (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ .（ $k_{A B}$ 是直线 $A B$ 的斜率）

查看试题解析