江苏省南通市如皋市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n_{1}} = (3 ， 0 ， λ)$ ，平面 $β$ 的一个法向量 $\vec{n_{2}} = (2 ， 1 ， 6)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、4 C、 $- 1$ D、1

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2. 若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、5 D、 $\frac{15}{2}$

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3. 已知 $P$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的交点，则 $P$ 点的横坐标为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $- 1$

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4. 若直线 $3 x + 4 y + m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 相切，则实数 $m$ 取值的集合为（）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${- 9 ， 1}$ C、 ${1}$ D、 ${- 8 ， 2}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 首项为2，且 $a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n + 1}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n}$ B、 $2^{n - 1} + 1$ C、 $2^{n} - 2$ D、 $2^{n + 1} - 2$

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6. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B$ ， $P$ 为 $A_{1} B$ 的中点， $Q$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点，则下列结论不正确的是（）

A、 $P Q ⊥ A_{1} B$ B、 $A C$ //平面 $A_{1} B Q$ C、 $P Q ⊥ C C_{1}$ D、 $P Q$ //平面 $A B C$

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7. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若存在不小于2的正整数 $k$ 使得 $a_{k} < a_{k - 1}$ 且 $a_{k} < a_{k + 1}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“ $k -$ 数列”.下列数列中为“ $k -$ 数列”的是（）

A、 $b_{n} = n$ B、 $b_{n} = 2^{n}$ C、 $b_{n} = n + \frac{9}{n}$ D、 $b_{n} = \frac{1}{2 n - 3}$

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8. 已知 $O$ 为坐标原点， $A$ 点坐标为 $(2 ， 0)$ ， $P$ 是抛物线 $C ： y^{2} = \frac{1}{2} x$ 在第一象限内图象上一点， $M$ 是线段 $A P$ 的中点，则 $O M$ 斜率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{4}]$

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二、多选题

9. 已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为6，则下列结论正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的焦距为1 B、椭圆 $C$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ D、椭圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 9 0^{∘}$

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11. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 所成角的为 $4 5^{∘}$ B、异面直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成角的为 $4 5^{∘}$ C、直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、二面角 $C_{1} - A D - B$ 的大小为 $4 5^{∘}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是首项和公比均为2的等比数列，将数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列 ${c_{n}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $c_{12} = 16$ B、数列 ${c_{n}}$ 中 $b_{n}$ 与 $b_{n + 1}$ 之间共有 $2^{n - 1}$ 项 C、 $b_{2 n} = a_{2^{n}}$ D、 $b_{n} = c_{2^{n - 1} + n - 1}$

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三、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为.

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14. 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线 $C$ 的共轭双曲线的离心率为 $3$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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15. 已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为.

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16. 摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点 $P$ 运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆 $O$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = R^{2} (R > 0)$ ，半径为1的动圆 $M$ 内切于定圆 $O$ 作无滑动的滚动，切点 $P$ 的初始位置为 $(R ， 0)$ .若 $R = 4$ ，则 $| P O |$ 的最小值为；若 $R = 2$ ，且已知线段 $M P$ 的中点 $N$ 的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为.

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四、解答题

17. 如图， $P A$ 是三棱锥 $P - A B C$ 的高，线段 $B C$ 的中点为 $M$ ，且 $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = P A = 2$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A M$ ；

(2)、求 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离.

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{2} - 3 S_{3} + S_{4} = 0$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、已知数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为2，右焦点 $F$ 到 $x = \frac{3}{2}$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = x - 1$ 与双曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ M N F$ 的面积.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足____.
① $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ ；② $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ ；③ $n S_{n + 1} = (n + 2) S_{n}$ .
从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A B_{1} = A A_{1} = A C = 2$ ， $∠ B A C = 12 0^{∘}$ ，线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点为 $M$ ，且 $B C ⊥ A M$ .

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、点 $P$ 在线段 $B_{1} C_{1}$ 上，且 $B_{1} P = \frac{2}{3} B_{1} C_{1}$ ，求二面角 $P - B_{1} A - A_{1}$ 的余弦值.

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22. 已知 $P (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 为椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点，上、下顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，右顶点为 $C$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 5$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、点 $P$ 为椭圆 $E$ 上异于顶点的一动点，直线 $A C$ 与 $B P$ 交于点 $Q$ ，直线 $C P$ 交 $y$ 轴于点 $R$ .求证：直线 $R Q$ 过定点.

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