湖南省岳阳市平江县2022-2023学年高二上学期数学1月期末试卷

试卷更新日期：2023-03-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $a_{n} = 3 n - 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的图象是（）

A、一条直线 B、一条抛物线 C、一个圆 D、一群孤立的点

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2. 若向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ 是空间的一个基底，向量 $\overset{⇀}{m} = \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{n} = \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ ，那么可以与 $\overset{⇀}{m}$ ， $\overset{⇀}{n}$ 构成空间的另一个基底的向量是（）

A、 $\overset{⇀}{a}$ B、 $\overset{⇀}{b}$ C、 $\overset{⇀}{c}$ D、 $2 \overset{⇀}{a}$

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3. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点不共线，对平面 $A B C$ 外的任一点 $O$ ，下列条件中能确定点 $M$ 与点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 一定共面的是（）

A、 $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ B、 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ C、 $\vec{O M} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ D、 $\vec{O M} = 2 \vec{O A} - \vec{O B} - \vec{O C}$

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4. 已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x²+y²=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，如果 $a_{1} + a_{2} = 40 ， a_{3} + a_{4 = 60}$ ，那么 $a_{7} + a_{8} =$ （）

A、135 B、100 C、95 D、80

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6. 函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0 ， b ＞ 0)$ 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 $P$ ，满足 $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且 $F_{2}$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为

A、 $3 x \pm 4 y = 0$ B、 $3 x \pm 5 y = 0$ C、 $4 x \pm 3 y = 0$ D、 $5 x \pm 4 y = 0$

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8. 青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿､用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡､锦､铅､磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{13}{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{4}$

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二、多选题

9. （多选）在棱长为1的正方体 $A B C D ﹣ A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是线段 $A_{1} C_{1}$ 上一个动点，则结论正确的是（）

A、直线 $D_{1} B_{1}$ 垂直于直线 $A C$ B、存在点M使得二面角 $M - B D - C$ 为 $90 °$ 的二面角 C、存在点M使得异面直线 $B M$ 与 $A C$ 所成角为 $90 °$ D、三棱锥 $A_{1} - A B D$ 的体积为 $\frac{1}{3}$

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10. 已知无穷等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} > 0$ ， $d < 0$ ，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 单调递减 B、数列 ${a_{n}}$ 没有最小项 C、数列 ${S_{n}}$ 单调递减 D、数列 ${S_{n}}$ 有最大项

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11. 下列不等式中正确的是（）

A、 $l n 3 < \sqrt{3} l n 2$ B、 $l n π < \sqrt{\frac{π}{e}}$ C、 $\frac{l n \sqrt{3}}{\sqrt{3}} < \frac{l n 3}{3}$ D、 $3 e l n 2 > 8$

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12. 在平面直角坐标系中， $A ， B$ 是圆 $C ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 2$ 上的两个动点， $P$ 点坐标为 $(0 ， 2)$ ，则下列判断正确的有（）

A、 $△ A B C$ 面积的最大值为1 B、 $∠ A P B$ 的取值范围为 $[0 ， \frac{π}{3}]$ C、若 $A B$ 为直径，则 $| \overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} | = 2 \sqrt{2}$ D、若直线过点 $P$ .则点 $A$ 到直线距离的最大值为 $3 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， A A_{1} = 3 ， A D = 2$ ，则点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为．

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14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且 $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - \frac{1}{2}$ ，则an=

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15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的每个顶点都在球O的球面上， $P A ， P B ， P C$ 两两互相垂直，且 $2 P B = P A = P C = 4$ ，若球O的表面积为．

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16. $f (x) = x^{3} - 3 x + m$ ，若关于x的方程 $f (x) = 0$ 在 $[0 ， 2]$ 上有根，则实数m的取值范围是．

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四、解答题

17. 圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l ： (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ .

(1)、求证：直线 $l$ 过定点；

(2)、求 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时 $m$ 的值以及最短弦的长度.

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， ${S_{n}}_{+ 1} - S_{n} = - S_{n} {S_{n}}_{+ 1} (n \in N *)$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2^{n}}{S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥$ 侧面 $B B_{1} C_{1} C$ ，已知 $∠ B C C_{1} = \frac{π}{3}$ ， $B C = 1$ ， $A B = C_{1} C = 2$ ，点 $E$ 是棱 $C_{1} C$ 的中点

(1)、求证： $C_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ ：

(2)、求二面角 $A - E B_{1} - A_{1}$ 的余弦值；

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20. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：
策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：In₊₁＝1.02In﹣0.2．
策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In₊₁＝1.08In﹣0.46．
当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．

(1)、设第一周的虫害指数Ⅰ₁∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？

(2)、设第一周的虫害指数Ⅰ₁＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ ，点 $A$ 为其左顶点，且 $M A$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、 $P$ 、 $Q$ 为椭圆 $C$ 上两个动点，且直线 $A P$ 、 $A Q$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{6}$ ，求证直线 $P Q$ 过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - l n (x + m)$ ．

(1)、已知点 $P (1 ， e)$ 在函数 $f (x)$ 的图象上，求函数 $f (x)$ 在点P处的切线方程．

(2)、当 $m \leq 2$ 时，求证 $f (x) > 0$ ．

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