湖南省益阳市六校2022-2023学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 2) ， \vec{b} = (- 3 ， - 6 ， 6) ， \vec{c} = (2 ， 1 ， 2)$ ，则它们的位置关系是（）

A、 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ， $\vec{a}$ ∥ $\vec{c}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b}$ ∥ $\vec{c}$ D、 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$

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2. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $C P$ 、 $C A$ 、 $C B$ 两两垂直， $A C = C B = 1$ ， $P C = 2$ ，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面 $P A B$ 的法向量的是（　　）

A、 $(1 ， 1 ， \frac{1}{2})$ B、 $(1 ， \sqrt{2} ， 1)$ C、 $(1 ， 1 ， 1)$ D、 $(2 ， - 2 ， 1)$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $q = 2$ ， $S_{2} = 6$ ，则 $S_{3} =$ （）

A、8 B、10 C、12 D、14

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4. 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第 $n$ 个图形的边长为 $a_{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $\frac{1}{3^{n}}$ B、 $\frac{1}{3 n - 1}$ C、 $\frac{1}{3 n}$ D、 $\frac{1}{3^{n - 1}}$

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5. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知 $Δ A B C$ 的顶点 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 4)$ ，若其欧拉线的方程为 $x - y + 2 = 0$ ，则顶点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 4 ， 0)$ B、 $(- 3 ， - 1)$ C、 $(- 5 ， 0)$ D、 $(- 4 ， - 2)$

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6. 已知定点 $B (3, 0)$ ，点 $A$ 在圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ D、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$

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7. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线的左､右焦点， $M$ 是双曲线右支上一点连接 $M F_{1}$ 交双曲线 $C$ 左支于点 $N$ ，若 $△ M N F_{2}$ 是以 $F_{2}$ 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 已知F₁ ， F₂分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左、右焦点，过F₂的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF₁F₂ ， △BF₁F₂的内心，则|HG|的取值范围是

A、 $[2 \sqrt{2} ， 4)$ B、 $[2 ， \frac{4 \sqrt{6}}{3})$ C、 $(\frac{4 \sqrt{3}}{3} ， 2 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， \frac{4 \sqrt{6}}{3})$

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9. 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果 $\vec{A B} = (2 ， - 1 ， - 4)$ ， $\vec{A D} = (4 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{A P} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $\vec{A P} ⊥ \vec{A B}$ B、 $\vec{A P} ⊥ \vec{A D}$ C、 $\vec{A P}$ 是平面ABCD的法向量 D、 $\vec{A P} / / \vec{B D}$

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二、多选题

10. 数列{an}的前n项和为Sn， $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则有（）

A、Sn＝3n^－¹ B、{Sn}为等比数列 C、an＝2·3n^－¹ D、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1 ， n = 1 \\ 2 \cdot 3^{n - 2} ， n \geq 2 \end{array}$

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11. 已知双曲线 $C$ 过点 $(3 ， \sqrt{2})$ ，且渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ C、曲线 $y = e^{x - 2} - 1$ 经过 $C$ 的一个焦点 D、直线 $x - \sqrt{2} y - 1 = 0$ 与 $C$ 有两个公共点

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12. 定义点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 到直线 $l$ ： $a x + b y + c = 0 (a^{2} + b^{2} \neq 0)$ 的有向距离为 $d = \frac{a x_{0} + b y_{0} + c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .已知点 $P_{1} ， P_{2}$ 到直线 $l$ 的有向距离分别是 $d_{1} ， d_{2}$ .以下命题不正确的是（）

A、若 $d_{1} = d_{2} = 1$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 平行 B、若 $d_{1} = 1$ ， $d_{2} = - 1$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 垂直 C、若 $d_{1} + d_{2} = 0$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 垂直 D、若 $d_{1} \cdot d_{2} \leq 0$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 相交

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三、填空题

13. 如下图，以长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\vec{D B_{1}}$ 的坐标为 $(4 ， 3 ， 2)$ ，则 $\vec{B D_{1}}$ 的坐标为.

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14. 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 4$ ， $a_{6} = 16$ ，若在数列 ${a_{n}}$ 每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第 $41$ 项为．

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16. 设抛物线 $x^{2} = 4 y$ ，点 $F$ 是抛物线的焦点，点 $M (0 ， m)$ 在 $y$ 轴正半轴上（异于 $F$ 点），动点 $N$ 在抛物线上，若 $∠ F N M$ 是锐角，则 $m$ 的范围为．

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四、解答题

17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ C A B = 9 0^{∘}$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点， $P$ 为侧棱 $B B_{1}$ 上的动点．

(1)、求证：平面 $A P M ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、试判断直线 $B C_{1}$ 与 $A P$ 是否能够垂直．若能垂直，求 $P B$ 的长；若不能垂直，请说明理由．

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = a_{n} + 3 \cdot 2^{2 n - 1} (n \in N^{+})$ .

(1)、求 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 的值.

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(3)、令 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. 已知各项都为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的通项公式 $b_{n} = {\begin{array}{l} n ， n 为偶数 \\ n + 1 ， n 为奇数 \end{array} (n \in N^{*})$ ，若 $S_{3} = b_{5} + 1$ ， $b_{4}$ 是 $a_{2}$ 和 $a_{4}$ 的等比中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．

(1)、证明：直线l过定点；

(2)、若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)、若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

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21. 已知圆C过点 $M (0 ， - 2) ， N (3 ， 1)$ ，且圆心C在直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆C的标准方程．

(2)、设直线 $a x - y + 1 = 0$ 与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点 $P (2 ， 0)$ 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴的两个端点分别为 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $(1 ， 0)$ 的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线 $x = 4$ 交于点Q，求证： $\frac{S_{△ M B N}}{S_{△ M B Q}} = \frac{| B N |}{| B Q |}$ .

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