湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{8} + a_{14} = 3 a_{11} - 4$ ，则 $S_{21} =$ （）

A、 $72$ B、 $84$ C、 $144$ D、 $168$

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2. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 k x + 2 y + k^{2} = 0 (k < 0)$ 和定点 $P (1 ， - 1)$ ，若过点 $P$ 可以作两条直线与圆 $C$ 相切，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2)$

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3. 如果直线 $y = a x + 2$ 与直线 $y = 3 x - b$ 关于直线 $y = x$ 对称，那么（）

A、 $a = \frac{1}{3} ， b = 6$ B、 $a = \frac{1}{3} ， b = - 6$ C、 $a = 3 ， b = - 2$ D、 $a = 3 ， b = 6$

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4. 已知抛物线 $x^{2} = 16 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在抛物线上，点 $Q$ 在圆 $E ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 4$ 上，则 $| P Q | + | P F |$ 的最小值为（）

A、12 B、10 C、8 D、6

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5. 设 $F$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点， $O$ 为坐标原点，过 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $H$ ，若 $△ F O H$ 的内切圆与 $x$ 轴切于点 $B$ ，且 $\vec{B F} = 3 \vec{O B}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 + 2 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{5 + \sqrt{7}}{3}$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 2 S_{n}$ ， $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{100} =$ （）

A、0 B、50 C、100 D、2525

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7. 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (0 < m < 4)$ 的蒙日圆为 $E ： x^{2} + y^{2} = 7$ ，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（）

A、椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、M到C的右焦点的距离的最大值为 $\sqrt{7} + 1$ C、若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{3}{4}$ D、 $△ M P Q$ 面积的最大值为 $\frac{7}{2}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且满足 $f (1) = 9$ ，对任意实数 $x_{1} ， x_{2}$ 都有 $f (x_{1} + x_{2}) = {(\frac{9}{10})}^{x_{2}} f (x_{1}) + {(\frac{9}{10})}^{x_{1}} f (x_{2})$ ，若 $a_{n} = f (n)$ ，则 ${a_{n}}$ 中的最大项为（）

A、 $a_{9}$ B、 $a_{10}$ C、 $a_{8}$ 和 $a_{9}$ D、 $a_{9}$ 和 $a_{10}$

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二、多选题

9. 下列有关数列的说法正确的是（）

A、数列 $- 2021 ， 0 ， 4$ 与数列 $4 ， 0 ， - 2021$ 是同一个数列 B、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n (n + 1)$ ，则110是该数列的第10项 C、在数列 $1 ， \sqrt{2} ， \sqrt{3} ， 2 ， \sqrt{5} ， \cdot \cdot \cdot$ 中，第8个数是 $2 \sqrt{2}$ D、数列3，5，9，17，33，…的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} + 1$

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10. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数： $1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8$ ， $13 ， 21 ， ⋯$ .该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列 ${a_{n}}$ 称为斐波那契数列，现将 ${a_{n}}$ 中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为 ${b_{n}}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $T_{2022} = 1348$ B、若 $T_{n} = 2022$ ，则 $n = 3033$ C、 $S_{1000} = a_{1002} - 1$ D、 ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} + ⋯ + {a_{500}}^{2} = a_{500} a_{501}$

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11. 已知圆 $M ： (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ ，直线 $l ： x + y - 2 = 0$ ， $P$ 为直线 $l$ 上的动点，过 $P$ 点作圆 $M$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点为A， $B$ ，则下列说法正确的是（）

A、四边形 $M A P B$ 面积的最小值为4 B、线段 $A B$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、当直线 $A B$ 的方程为 $x + y = 0$ 时， $∠ A P B$ 最小 D、若动直线 $l_{1} / / l$ ， $l_{1}$ 且交圆 $M$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，且弦长 $C D \in (2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{3})$ ，则直线 $l_{1}$ 横截距的取值范围为 $(\sqrt{2} - 2 ， 0) \cup (- 4 ， - \sqrt{2} - 2)$

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12. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 5$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 4$ ，直线 $l$ 过 $C$ 的焦点 $F$ ，且与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、若直线 $l$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $| M N | = 8$ B、 $| M F | + 2 | N F |$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、若以 $M F$ 为直径的圆与 $y$ 轴的公共点为 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ ，则点 $M$ 的横坐标为 $\frac{3}{2}$ D、若点 $G (2 ， 2)$ ，则 $△ G F M$ 周长的最小值为 $3 + \sqrt{5}$

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三、填空题

13. 经过点 $P (0 ， - 1)$ 作直线l，且直线l与连接点 $A (1 ， - 2)$ ， $B (2 ， 1)$ 的线段总有公共点，则直线l的倾斜角 $α$ 的取值范围是．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 为递减数列，其前 $n$ 项和 $S_{n} = - n^{2} + 2 n + m$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 已知椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，经过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点， $△ A B F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $I$ ，若 $3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} + 6 \vec{I F_{2}} = \vec{0}$ ，则该椭圆的离心率是．

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16. 如图所示，平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ A D$ ， $C B ⊥ C D$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} + 2 \vec{D A} \cdot \vec{D C} = 0$ ，若点 $A$ ， $C$ 分别为椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ）的上､下顶点，点 $B$ 在椭圆 $E$ 上，点 $D$ 不在椭圆 $E$ 上，则椭圆 $E$ 的焦距为.

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四、解答题

17. 半径为3的圆 $C$ 过点 $A (1 ， - 1)$ ，圆心 $C$ 在直线 $y = 2 x$ 上且圆心在第一象限．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(4 ， 3)$ 作圆 $C$ 的切线，求切线的方程．

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18. 已知 $△ A B C$ 的两个顶点 $A ， B$ 分别为椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ 的左焦点和右焦点，且三个内角 $A ， B ， C$ 满足关系式 $s i n B - s i n A = \frac{1}{2} s i n C$ .

(1)、求线段 $A B$ 的长度；

(2)、求顶点 $C$ 的轨迹方程.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + ⋯ + (2 n - 1) a_{n} = 3^{n}$

(1)、求an.

(2)、若对任意的 $n ∈ N^{∗}$ ， $a_{n} \geq {(- 1)}^{n} λ$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围；

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20. 如图，已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ 是抛物线 $x^{2} = y$ 上的三个不同的点，且 $△ A B C$ 是以点 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形.

(1)、若直线 $B C$ 的斜率为1，求顶点 $B$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积的最小值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2 (n \in N^{*})$ 时， $(n - 1) S_{n} - (n + 1) S_{n - 1} = \frac{1}{3} (n^{3} - n)$ .

(1)、计算： $a_{2}$ ， $a_{3}$ ；

(2)、证明 ${\frac{S_{n}}{n (n + 1)}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设 $b_{n} = t a n \sqrt{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n + 1} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 设椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 $E$ 恒有两个交点 $A ， B$ ，且 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ？若存在，写出该圆的方程，并求 $| A B |$ 的取值范围，若不存在，说明理由.

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