湖北省武汉市常青联合体2022-2023学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $L ： \sqrt{3} x + y + 3 = 0$ 的倾斜角 $α =$ （）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $15 0^{∘}$

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\pm 5 ， 0)$ B、 $(\pm 1 ， 0)$ C、 $(\pm \sqrt{5} ， 0)$ D、 $(\pm \sqrt{7} ， 0)$

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3. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A A_{1}} = \vec{a} ， \vec{A B} = \vec{b} ， \vec{A D} = \vec{c} ， E$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，则向量 $\vec{D E}$ 可用向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示为（）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

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4. 若直线 $x + (1 + m) y - 2 = 0$ 和直线 $m x + 2 y + 4 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 2$ C、 $1$ 或 $- 2$ D、 $- \frac{2}{3}$

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5. 设圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 4$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 0$ ，则圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的公切线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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6. 若直线 $y = - x + b$ 与曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 有两个公共点，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[- 1 ， \sqrt{2}]$ C、 $[1 ， \sqrt{2})$ D、 $(1 ， \sqrt{2})$

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7. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}$ .若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为9，则实数 $b$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 已知点 $P$ 为直线 $y = x + 1$ 上的一点， $M ， N$ 分别为圆 $C_{1} ： (x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ 上的点，则 $| P M | + | P N |$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、2 D、1

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二、多选题

9. 已知直线 $l ： \sqrt{3} x + y - 2 = 0$ ，则（）

A、倾斜角为 $60 °$ B、恒过点 $(0 ， 2)$ C、直线 $l$ 的方向向量为 $(1 ， - \sqrt{3})$ D、在x轴上的截距为2

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10. 已知方程 $\frac{x^{2}}{6 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示的曲线为 $C$ ，则下列四个结论中正确的是（）

A、当 $m > 6$ 或 $m < 2$ 时，曲线 $C$ 是双曲线 B、当 $2 < m < 6$ 时，曲线 $C$ 是椭圆 C、若曲线 $C$ 是焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $m > 6$ D、若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $2 < m < 4$

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11. 过点 $P (2 ， 1)$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点分别为 $A ， B$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $| P A | = \sqrt{3}$ B、四边形 $P A O B$ 的外接圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 2 x + y$ C、直线 $A B$ 方程为 $y = - 2 x + 1$ D、三角形 $P A B$ 的面积为 $\frac{8}{5}$

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12. 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 $F (3 ， 0)$ ，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线 $y = t (t > 0)$ 与半圆交于点 $A$ ，与半椭圆交于点 $B$ ，则下列结论正确的是（）

A、椭圆的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、线段 $A B$ 长度的取值范围是 $(0 ， 3 + 3 \sqrt{2})$ C、 $△ A B F$ 的面积存在最大值 D、 $△ A O B$ 的周长存在最大值

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1 ， 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的渐近线方程为.

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15. 若直线 $k x - y + 1 - 2 k = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 分别交于M、N两点. 则弦MN长的最小值为.

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16. 已知双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $(a > 0 ， b > 0)$ ，两焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $A B$ 经过 $F_{2}$ 与双曲线交于 $A ， B$ 两点，其中 $A B ⊥ A F_{1}$ 且 $2 | A F_{2} | = | F_{2} B |$ ，则此双曲线离心率为.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (2 ， 1)$ ， $C (- 2 ， 3)$ .

(1)、求 $B C$ 边的垂直平分线 $D E$ 所在直线方程；

(2)、求 $△ A B C$ 内 $B C$ 边上中线 $A D$ 方程.

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18. 已知圆心为 $C (0 ， 3)$ ，且经过点 $(\sqrt{2} ， 2)$ 的圆.

(1)、求此圆C的方程；

(2)、直线 $l ： y = a x$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点.若 $△ A B C$ 为等边三角形，求直线 $l$ 的方程.

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19. 如图，四棱雉 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 1$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，且 $P B ⊥ A M$ .

(1)、求线段 $B C$ 的长度；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点坐标为 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{5})$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B_{1} ⊥ B C$ .

(1)、证明： $B C ⊥ A B$ ；

(2)、设 $D$ 为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B = B C = 2$ ，求二面角 $A - B D - C$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $F (- 1 ， 0)$ 为其左焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、试求 $△ O A B$ 面积的最大值以及此时直线 $l$ 的方程.

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