辽宁省铁岭市2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-03-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\frac{5}{4} x^{2} \times \frac{2}{5} x^{4} = \frac{1}{2} x^{6}$ B、 $2 x^{3} + 3 x^{3} = 5 x^{6}$ C、 $(- 3 x)^{3} \cdot (- 3 x^{2}) = 81 x^{6}$ D、 $2 x^{2} \cdot 3 x^{3} = 6 x^{6}$

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2. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　）

A、（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x） B、（2x²﹣y²）（2x²+y²） C、（a+b﹣c）（﹣c﹣b+a） D、（﹣x+y）（x﹣y）

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3. 若 ${(3 x - 2 y)}^{2} = {(3 x + 2 y)}^{2} + A$ ，则代数式 $A =$ （）

A、－12xy B、12xy C、24xy D、－24xy

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4. 下列说法正确的是（）

A、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等 B、如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直 C、如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行 D、如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等

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5. 如图，能判断AB $∥$ CE的条件是（）

A、∠A＝∠ACE B、∠A＝∠ECD C、∠B＝∠BCA D、∠B＝∠ACE

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6. 若∠α与∠β同旁内角，且∠α=50°时，则∠β的度数为（）

A、50° B、130° C、50°或130° D、无法确定

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7. 如图，AB∥CD ， FE⊥DB ，垂足为E ， ∠1＝50°，则∠2的度数是（）

A、60° B、50° C、40° D、30°

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8. ${[- (- a)^{2}]}^{3} =$ （）

A、 $- a^{6}$ B、 $a^{6}$ C、 $- \frac{1}{a^{6}}$ D、 $\frac{1}{a^{6}}$

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9. 如果 $x^{2} + m x + 9$ 是一个完全平方式，则m的值（）

A、6 B、 $\pm 6$ C、3 D、 $\pm 3$

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10. 将一直角三角板与两边平行的硬纸条如图所示放置，下列结论（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°．其中错误的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 若 $4 x^{2} + 2 k x + 25$ 是关于x的完全平方式，则常数 $k =$ ．

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12. 一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角是．

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13. 已知 $x y = 4 ， x - y = 5$ ，则 $x^{2} + 5 x y + y^{2} =$ ．

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14. 若 $a^{2} - b^{2} = - 72$ ， $a - b = 12$ ，则 $a + b$ 的值为.

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15. 如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB＝.

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16. 如图，已知AB $∥$ CD， $∠ A B E$ 和 $∠ C D E$ 的平分线相交于 $F$ ， $∠ E = 140 °$ ，求 $∠ B F D$ 的度数．

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三、解答题

17.

(1)、 $- 1^{3} - 8^{- 1} \times {(- \frac{1}{2})}^{- 2} \times (π - 3.14)^{0}$

(2)、利用公式计算： $40 \frac{1}{3} \times 39 \frac{2}{3}$

(3)、利用公式计算： $29 9^{2}$

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18. 计算：

(1)、（15x²y﹣10xy²）÷5xy；

(2)、（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）.

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19. 已知 $5^{m} = 2$ ， $5^{n} = 4$ ，求 $5^{2 m - n}$ 和 $2 5^{m + n}$ 的值．

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20. 化简求值： $(x - 2 y) (x + 2 y) + {(x - 2 y)}^{2} - (6 x^{2} y - 8 x y^{2}) \div (2 y)$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = \frac{1}{3}$ .

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21. 阅读下列推理过程，在括号中填写依据．
已知：如图，点 $D$ 、 $E$ 分别在线段 $A B$ 、 $B C$ 上， AC∥DE， DF∥AE， $D F$ 交 $B C$ 于点 $F$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，求证： $D F$ 平分 $∠ B D E$ ．
证明：∵ $A E$ 平分 $∠ B A C$ （已知）
∴ $∠ 1 = ∠ 2$ （           ）
∵AC∥DE（已知），
∴ $∠ 1 = ∠ 3$ （           ）
∴ $∠ 2 = ∠ 3$ （           ）
∵DF∥AE（           ）
∴ $∠ 2 = ∠ 5$ （           ）
且 $∠ 3 = ∠ 4$ （           ）
∴ $∠ 4 = ∠ 5$ （           ）
∴ $D F$ 平分 $∠ B D E$ （           ）

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22. 如图所示，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° ， ∠ B = ∠ 3 ， D E$ 和 $B C$ 平行吗？如果平行，请说明理由．

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23. 如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．

(1)、 $S_{甲} =$ ， $S_{乙} =$ （用含a、b的代数式分别表示）；

(2)、利用（1）的结果，说明 $a^{2}$ 、 $b^{2}$ 、 $(a + b) (a - b)$ 的等量关系：

(3)、应用所得的公式计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{9 9^{2}}) (1 - \frac{1}{10 0^{2}})$

(4)、如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明 $(a + b)^{2}$ 、 $(a - b)^{2}$ 、 $a b$ 三者的等量关系．

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24. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°.

(1)、求∠EAD的度数．

(2)、若其他条件不变，图形发生了变化，已知的两个角度数改为：
当∠B＝30°，∠C＝60°时，∠EAD＝°；
当∠B＝50°，∠C＝60°时，∠EAD＝°；
当∠B＝64°，∠C＝78°时，∠EAD＝°.

(3)、若∠B＜∠C，你能找到∠EAD与∠B和∠C之间的关系吗？请写出你发现的结论并说明理由．

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25. 长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自 $A M$ 顺时针旋转至 $A N$ 便立即回转，灯B射线自 $B P$ 顺时针旋转至 $B Q$ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是 $a °$ /秒，灯B转动的速度是 $b °$ /秒，且a、b满足 $| a - 3 | + (a + b - 4)^{2} = 0$ ．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即 $P Q$ // $M N$ ，且 $∠ B A N = 45 °$

(1)、求a、b的值；

(2)、若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达 $B Q$ 之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)、如图，两灯同时转动，在灯A射线到达 $A N$ 之前．若射出的光束交于点C，过C作 $C D ⊥ A C$ 交 $P Q$ 于点D，则在转动过程中， $∠ B A C$ 与 $∠ B C D$ 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

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