人教A版（2019）必修第二册《8.6空间直线、平面的垂直》同步练习

试卷更新日期：2023-03-01 类型：同步测试

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 如图，等边三角形 $ABC$ 的中线 $AF$ 与中位线 $DE$ 相交于 $G$ ，已知 $Δ A' ED$ 是 $Δ AED$ 绕 $DE$ 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）

A、恒有 $DE ⊥ A' F$ B、异面直线 $A' E$ 与 $BD$ 不可能垂直 C、恒有平面 $A' GF ⊥$ 平面 $BCDE$ D、动点 $A'$ 在平面 $ABC$ 上的射影在线段 $AF$ 上

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2. 在长方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，正方形 $ABCD$ 的面积为16， $A C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $30 °$ ，则该长方体的体积为（）

A、64 B、 $64 \sqrt{2}$ C、 $48 \sqrt{2}$ D、 $64 \sqrt{3}$

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3. 如图，在三棱锥 $D - ABC$ 中， $AB = BC = CD = DA$ ， $∠ ABC = \frac{2π}{3}$ ， $E ， F ， O$ 分别为棱 $BC ， DA ， AC$ 的中点，记直线 $EF$ 与平面 $BOD$ 所成角为 $θ$ ，则 $θ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ C、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ D、 $(0 ， \frac{π}{4})$

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4. 如图，在棱长为1的正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，若经过点 $D$ 的平面 $α$ 与 $BM$ 垂直，平面 $α$ 与平面 $CD D_{1} C_{1}$ 的交线记为 $l$ ，则 $l$ 与直线 $C_{1} M$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知空间两不同直线 $m$ 、 $n$ ，两不同平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $m //α$ 且 $n //α$ ，则 $m // n$ B、若 $m ⊥ β$ 且 $m ⊥ n$ ，则 $n //β$ C、若 $m ⊥ α$ 且 $m //β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m // n$ 且 $n \subset α$ ，则 $m //α$

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6. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ ；②若 $m//α ， n//β ， m ⊥ n$ ，则 $α//β$ ；③若 $m ⊥ α ， n//β ， m ⊥ n$ ，则 $α//β$ ；④若 $m ⊥ α ， n//β ， α//β$ ，则 $m ⊥ n .$

其中正确的命题是（）

A、①④ B、②④ C、① D、④

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7. 已知平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，则“直线 $m ⊥$ 平面 $α$ ”是“直线 $m//$ 平面 $β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m//α ， n//α$ ，则 $m//n$ B、若 $m//α ， α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m//α ， m//β$ ，则 $α//β$ D、若 $m//n ， m ⊥ α ， n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9. 下列命题，其中正确的是（）

A、两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B、有三个角是直角的四边形是矩形 C、如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 D、如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行

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10. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图在堑堵 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $AB ⊥ AC$ ， $C C_{1} = BC = 2$ ， $D$ ， $E$ 分别为棱 $A A_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，则（）

A、四面体 $C_{1} - ABC$ 为鳖臑 B、 $DE//$ 平面 $AB C_{1}$ C、若 $AB = \sqrt{3}$ ，则 $AB$ 与 $DE$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、三棱锥 $C_{1} - ABC$ 的外接球的体积为定值 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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11. 在正四面体 $P - ABC$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $AB$ ， $BC$ ， $CA$ 的中点，则下面四个结论中成立的是（）

A、 $BC//$ 平面PDF B、 $DF ⊥$ 平面 $PAE$ C、平面 $PDF ⊥$ 平面 $ABC$ D、平面 $PAE ⊥$ 平面 $ABC$

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12. 在三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $ABC$ 为正三角形，侧棱垂直于底面， $E$ 是 $AB$ 的中点， $O$ 是 $B C_{1}$ 的中点．给出下列结论正确的是（）

A、若 $P$ 是 $A C_{1}$ 上的动点，则 $OP$ 与 $A_{1} B_{1}$ 异面 B、 $A C_{1} //$ 平面 $B_{1} CE$ C、若该三棱柱有内切球，则 $AB ： A A_{1} = 1 ： \sqrt{3}$ D、若该三棱柱所有棱长均相等，则侧面对角线与棱成 $45 °$ 角的共有30对

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13. 如图，多面体 $O A B C D$ 中， $A B = C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = B C = A C = B D = 2 \sqrt{3}$ ，且 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 两两垂直，则下列结论中正确的是（）

A、平面 $C A B ⊥$ 平面 $A B D$ B、 $C D / /$ 平面 $O A B$ C、直线 $A D$ 与 $O B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、经过点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点的球的表面积为 $16 π$

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三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14. 如图，面 $ABC ⊥$ 面 $BCDE$ ， $M$ 是 $BC$ 中点， $BCDE$ 是矩形．
求证： $AM ⊥ DC$ ．

证明如下：法一：

$∵ Δ ABC$ 是正三角形且 $M$ 是 $BC$ 中点， $∴$ ，

又 $∵$ 面 $ABC ⊥$ 面 $BCDE$ 且及 $AM \subset$ 面 $ABC$ ．

$∴ AM ⊥$ 面 $BCDE .$ 又 $∵$ $∴ AM ⊥ DC$ ．

法二： $∵ BCDE$ 是矩形 $∴ BC ⊥ DC$ ．

又 $∵$ 且面 $ABC \cap$ 面 $BCDE = BC$ 及 $. ∴ DC ⊥$ 面 $ABC$ ．

又 $∵$ $∴ AM ⊥ DC$ ．

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15. 已知在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 2 \sqrt{2}$ ， $BC = a$ ， $PA ⊥$ 平面 $ABCD$ ，若在边 $BC$ 上存在点 $Q$ 满足 $PQ ⊥ DQ$ ，则 $a$ 的最小值是.

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16. 已知三角形 $PAD$ 所在平面与矩形 $ABCD$ 所在平面互相垂直， $PA = PD = AB = 2$ ， $∠ APD = 90 °$ ，若点 $P ， A ， B ， C ， D$ 都在同一球面上，则此球的表面积等于.

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17. 已知球的表面积为 $20π$ ，球面上有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点．如果 $AB=AC= 2$ ， $BC= 2 \sqrt{2}$ ，则球心到平面 $ABC$ 的距离为.

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18. 将边长为2的正方形 $ABCD$ 沿对角线 $BD$ 折成直二面角 $A - BD - C$ ，则异面直线 $AB$ 与 $CD$ 所成的角．

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四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19. 如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中， $PA ⊥$ 平面 $ABCD$ ， $AD ⊥ CD$ ， $AD//BC$ ， $PA = AD = CD = 2$ ， $BC = 3. E$ 为 $PD$ 的中点，点 $F$ 在 $PC$ 上，且 $\frac{PF}{PC} = \frac{1}{3} .$

(1)、求证： $CD ⊥$ 平面 $PAD$ ；

(2)、设点 $G$ 在 $PB$ 上，且 $\frac{PG}{PB} = \frac{2}{3}$ ，证明： $AG//$ 平面 $PCD$ ；

(3)、在（2）的条件下，判断直线 $AG$ 是否在平面 $AEF$ 内，说明理由.

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20. 如图，在多面体 $ABCDEF$ 中，平面 $ADEF ⊥$ 平面 $ABCD .$ 四边形 $ADEF$ 为正方形，四边形 $ABCD$ 为梯形，且 $AD//BC$ ， $Δ ABD$ 是边长为1的等边三角形， $BC = 3$ ．

(1)、求证： $AF ⊥ BD$ ；

(2)、线段 $BD$ 上是否存在点 $N$ ，使得直线 $CE//$ 平面 $AFN$ ？若存在，求 $\frac{BN}{BD}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面 $P A C$ 是正三角形，且垂直于底面 $A B C$ ， $B C ⊥ A C$ ， $B C = 2$ ， $A B = 4.$

(1)、求证： $B C ⊥ P A ；$

(2)、记二面角 $B - P A - C$ 的平面角为 $θ$ ，求 $cos θ$ 的值.

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22. 如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中， $PD ⊥$ 平面 $ABCD$ ， $AD = CD$ ， $DB$ 平分 $∠ ADC$ ， $E$ 为 $PC$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $PA//$ 平面 $BDE$ ；

（Ⅱ）证明： $AC ⊥$ 平面 $PBD .$

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23. 如图，在四棱柱 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D_{1} D ⊥$ 平面 $ABCD$ ，底面 $ABCD$ 是正方形，且 $AB = 1$ ， $D_{1} D = \sqrt{2}$

(1)、求证： $AC ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$

(2)、求四棱锥 $D_{1} - ABCD$ 的体积．

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