人教A版（2019）必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》同步练习

试卷更新日期：2023-03-01 类型：同步测试

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 $\sqrt{3}$ ， $AB = 2$ ， $AC = 1$ ， $∠ BAC = 60 °$ ，则此球的表面积是（）

A、2π B、4π C、8π D、10π

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2. 如图，在长方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $V_{A_{1} - BCD} =$ （）

A、60 B、30 C、20 D、10

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3. 已知一长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的所有顶点都在同一球面上．若球的体积为 $\frac{32}{3} π$ ，则该长方体的体积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{14}$ C、 $\frac{\sqrt{78}}{3}$ D、14

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4. 在三棱锥 $P - ABC$ 中，已知 $PA$ ， $PB$ ， $PC$ 两两垂直，且 $PA = 1$ ， $PB = 2$ ， $PC = 3$ ，则三棱锥 $P - ABC$ 的外接球的表面积为（）

A、13π B、14π C、56π D、64π

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5. 已知 $A ， B$ 为球 $O$ 的球面上两点，过弦 $A B$ 的平面截球 $O$ 所得截面面积的最小值为 $9 π$ ，且 $△ O A B$ 为等边三角形，则球 $O$ 的表面积为（）

A、36π B、54π C、108π D、144π

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6. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）

A、 $4π + 8$ B、 $4π + 12$ C、 $8π + 8$ D、 $8π + 12$

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7. 已知一个圆柱的表面积等于侧面积的 $\frac{3}{2}$ ，且其轴截面的周长为16，则该圆柱的体积为（）

A、8π B、16π C、27π D、36π

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8. 已知正四棱锥 $P - ABCD$ 的底面边长和高都为4， $O$ 是底面 $ABCD$ 的中心，以 $O$ 为球心的球与四棱锥 $P - ABCD$ 的各个侧面都相切，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{16π}{5}$ B、 $\frac{32π}{5}$ C、 $\frac{64π}{5}$ D、 $\frac{128π}{5}$

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二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9. 已知三棱锥 $A - BCD$ 中， $BC ⊥ CD$ ， $AB = AD = \sqrt{2}$ ， $BC = 1$ ， $CD = \sqrt{3}$ ，则（）

A、三棱锥的外接球的体积为 $\frac{4π}{3}$ B、三棱锥的外接球的体积为 $\frac{8π}{3}$ C、三棱锥的体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、三棱锥的体积的最大值为 $\sqrt{3}$

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10. 已知三棱锥 $P - ABC$ 的体积为1，其外接球 $O$ 的半径为 $R$ ， $PA = 2R$ ， $Δ ABC$ 是腰长为2的等腰三角形，且 $∠ BAC = \frac{2π}{3}$ ，则

A、球 $O$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{19}}{3} π$ B、球 $O$ 的表面积为 $\frac{19}{2} π$ C、球 $O$ 的表面积为19π D、球 $O$ 的体积为 $\frac{19 \sqrt{19}}{6} π$

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11. 佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的平行四边形 $A B C D$ 由六个边长为1的正三角形构成.将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中（）

A、 $A B$ 与 $C D$ 是异面直线 B、 $A B$ 与 $C D$ 是相交直线 C、存在内切球，其表面积为 $\frac{8}{27} π$ D、存在外接球，其体积为 $\frac{8 \sqrt{6}}{27} π$

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12. 如图所示，一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说法正确的是（）

A、体积之比 $\frac{2}{3}$ B、体积之比 $\frac{3}{2}$ C、表面积之比 $\frac{3}{2}$ D、表面积之比 $\frac{2}{3}$

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13. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在球台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张正方形球台 $ABCD$ ，现从角落 $A$ 沿角 $α$ 的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落 $C$ 的球袋中，则 $tanα$ 的值可以为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14. 若球 $O$ 的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球 $O$ 表面积为．

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15. 已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，以顶点 $A$ 为球心， $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的各段曲线的长度之和等于 .

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16. 已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数 $(V)$ 、棱数 $(E)$ 、面数 $(F)$ 之间存在如下关系： $V + F - E = 2.$ 利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体 $($ 正方体 $)$ 、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体 $($ 如图 $)$ 的外接球的表面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为．

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17. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的长宽高分别为2，3，4，且长方体的八个顶点都在球O的球面上，则球O的半径为．

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18. 在四面体PABC中，平面 $P A B ⊥$ 平面ABC， $P A = P B = A B = 2$ ， $A C = B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该四面体的外接球的体积为.

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四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19. 如图，点 $O$ 为圆柱形木块底面的圆心， $AD$ 是底面圆的一条弦，优弧 $\overset{⌢}{A E D}$ 的长为底面圆的周长的 $\frac{3}{4} .$ 过 $AD$ 和母线 $AB$ 的平面将木块剖开，得到截面 $ABCD$ ，已知四边形 $ABCD$ 的周长为40．

（Ⅰ）设 $AD = x$ ，求 $⊙ O$ 的半径（用x表示）；

（Ⅱ）求这个圆柱形木块剩下部分（如图一）侧面积的最大值．（剩下部分几何体的侧面积=圆柱侧面余下部分的面积 $+$ 四边形 $ABCD$ 的面积）

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20. 如图，在四棱柱 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $ABCD$ 是平行四边形， $AC ⊥ B B_{1}$ ，点 $D_{1}$ 在底面 $ABCD$ 内的投影恰为 $AC$ 的中点 $O .$

(1)、证明：四边形ABCD为菱形；

(2)、若 $∠ ADC = 60 °$ ， $A A_{1} = \frac{3}{2} AD = 3$ ，求四棱锥 $A_{1} - BC C_{1} B_{1}$ 的体积.

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21. 某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为 $32πcm$ ，高为 $30cm$ ，圆锥的母线长为 $20cm .$

(1)、求这种“笼具”的体积；

(2)、现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米4元，共需多少元？

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22. 如图所示，四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形， $PD ⊥$ 平面 $ABCD$ ， $PD = AB = 2$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为的中点．

(1)、求证： $PA//$ 平面 $EFG$ ；

(2)、求三棱锥 $F - PEG$ 的体积．

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23.

(1)、已知三棱锥 $S - ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $Δ ABC$ 是边长为1的正三角形， $SC$ 为球 $O$ 的直径，且 $SC = 2$ ，求此棱锥的体积.

(2)、已知 $A$ ， $B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $∠ AOB = 90 °$ ， $C$ 为该球面上的动点 $.$ 若三棱锥 $O - ABC$ 体积的最大值为36，求球 $O$ 的表面积.

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