人教A版（2019）必修第二册《8.1基本立体图形》同步练习

试卷更新日期：2023-03-01 类型：同步测试

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $\sqrt{5}$

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2. 在三棱锥 $P - ABC$ 中， $AB = AC = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ BAC = 120 °$ ， $PB = PC = 2 \sqrt{6}$ ， $PA = 2 \sqrt{5}$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、40π B、20π C、80π D、60π

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3. 若一个三棱锥的底面是边长为 $3$ 的正三角形，高为 $\sqrt{3}$ ，所有侧棱均相等，则侧棱长为（）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 如果某正方体的八个顶点都在同一个半径为 $1$ 的球面上，那么该正方体的体积是（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$

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5. 一个正四棱锥的底面边长为2，高为 $\sqrt{3}$ ，则该正四棱锥的全面积为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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6. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4π时该圆柱的体积为（）

A、π B、2π C、3π D、4π

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7. 若一个圆锥的高为3，母线与底面所成角为 $60 °$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、3π B、 $3 \sqrt{3} π$ C、 $6 \sqrt{3} π$ D、6π

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二、多选题（本大题共5小题，共25分）

8. 在圆锥 $S O$ 中， $C$ 是母线 $S A$ 上靠近点 $S$ 的三等分点， $S A = l$ ，底面圆的半径为 $r$ ，圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ ，则（）

A、当 $l = 1$ 时，从点 $A$ 到点 $C$ 绕圆锥侧面一周的最小长度为 $\sqrt{13}$ B、当 $r = \frac{3}{2}$ 时，过顶点 $S$ 和两母线的截面三角形的最大面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ C、当 $l = 3$ 时，圆锥 $S O$ 的外接球表面积为 $\frac{81 π}{8}$ D、当 $l = 3$ 时，棱长为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的正四面体在圆锥 $S O$ 内可以任意转动

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9. 三棱锥 $P - ABC$ 中，已知 $PO ⊥$ 平面 $ABC$ ，垂足为 $O$ ，连接 $OA$ ， $OB$ ， $OC$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{OA} | = | \vec{OB} | = | \vec{OC} |$ ，则 $O$ 为 $Δ ABC$ 的重心 B、若 $\vec{PA} . \vec{PB} = \vec{PB} . \vec{PC} = \vec{PA} . \vec{PC}$ ，则 $O$ 为 $Δ ABC$ 的垂心 C、若 $PA = PB = PC$ ，则 $O$ 为 $Δ ABC$ 的外心 D、若 $PA ⊥ PB$ ， $PB ⊥ PC$ ， $PC ⊥ PA$ ，则 $O$ 为 $Δ ABC$ 的内心

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10. 在棱长为2的正四面体 $A - BCD$ 中， $M$ 为 $AD$ 的中点， $N$ 为 $BC$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $MN//CD$ B、正四面体 $A - BCD$ 外接球的表面积等于 $6π$ C、 $MN ⊥ BC$ D、正四面体 $A - BCD$ 外接球的球心在 $MN$ 上

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11. 如图，以等腰直角三角形斜边 $BC$ 上的高 $AD$ 为折痕，把 $Δ ABD$ 和 $Δ ACD$ 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（）

A、异面直线 $BD$ 与 $AC$ 所成角为 $90 °$ ； B、 $∠ BAC = 60 °$ ； C、三棱锥 $D - ABC$ 是正三棱锥； D、平面 $ADC$ 和平面 $ABC$ 垂直．

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12. 下列说法错误的是（）

A、有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥 B、有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C、如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D、如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体

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三、填空题（本大题共5小题，共25分）

13. 已知正方体的棱长为1，则该正方体的体对角线长为：外接球的表面积为．

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14. 已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为.

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15. 底面半径为 $1cm$ ，高为 $3cm$ 的圆锥的表面积是.

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16. 如图所示，在边长为 $5 + \sqrt{2}$ 的正方形 $ABCD$ 中，以 $A$ 为圆心画一个扇形，以 $O$ 为圆心画一个圆， $M$ ， $N$ ， $K$ 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆 $O$ 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积为.

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四、解答题（本大题共5小题，共60分）

17. 已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为1，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求三棱锥体积与内切球的表面积.

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18. 如图，在四边形 $ABCD$ 中， $BA ⊥ AD$ ， $CE ⊥ AD$ 延长线于 $E$ ，将四边形 $ABCD$ 绕 $AD$ 所在直线旋转一周，由此形成的几何体是如何由简单几何体构成的 $?$

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19. 如图， $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， ∠ ABC = 30^{\circ}$ ， $BC = \sqrt{3}$ ，在三角形内挖去一个半圆 $($ 圆心 $O$ 在边 $BC$ 上，半圆与 $AC ， AB$ 分别相切于点 $C ， M$ ，与 $BC$ 交于点 $N)$ ，将绕直线 $BC$ 旋转一周得到一个旋转体．

(1)、求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

(2)、求图中阴影部分绕直线 $BC$ 旋转一周所得旋转体的体积．

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20. 如图所示，已知在圆锥 $SO$ 中，底面半径 $r = 1$ ，母线长 $l = 4$ ， $M$ 为母线 $SA$ 上的一个点，且 $SM = x$ ，从点 $M$ 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 $A$ ，求：

(1)、设 $f (x)$ 为绳子最短长度的平方，求 $f (x)$ 表达式；

(2)、绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；

(3)、 $f (x)$ 的最大值．

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21. 如图，把直角边长分别为3和4的直角三角形 $ABC$ 绕着斜边 $AB$ 旋转，求旋转所得几何体的表面积.

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