吉林市重点中学2022-2023学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-03-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 2 ， x \in Z}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 $(0 ， 1)$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 $(- 1 ， 2)$

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2. 已知 $\cos α = \frac{1}{3}$ ，且 $\frac{3π}{2} < α < 2 π$ ，则 $\tan α$ 的值为（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$

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3. 设 $a = \log_{2} e$ ， $b = \ln 2$ ， $c = \cos 130 °$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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4. 设 $a ， b \in R$ ，则 “ $(a - b) a^{2} < 0$ ”是“ $a < b$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 命题“ $\forall x \in R$ ， $f (x) g (x) \neq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $f (x) = 0$ 且 $g (x) = 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $f (x) = 0$ 或 $g (x) = 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) = 0$ 且 $g (x_{0}) = 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) = 0$ 或 $g (x_{0}) = 0$

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6. 如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（）

A、 $\frac{4}{\sin 1}$ B、 $\frac{2}{\sin 1}$ C、 $2 \sin 1$ D、 $4 \sin 1$

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7. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (8 - a x)$ 满足 $a > 1$ ，若 $f (x) > 1$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $(\frac{8}{3} ， 4)$ C、 $(1 ， \frac{8}{3})$ D、 $(1 ， \frac{8}{3}) \cup (4 ， + \infty)$

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8. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，若函数 $g (x) = f (x) - \log_{a} (x + 2)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $(- 1 ， 7)$ 上恰有4个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{7}) \cup (7 ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{7}) \cup (9 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{9}) \cup (7 ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{9}) \cup (9 ， + \infty)$

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二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2}}$ ， $y = (\sqrt{x})^{2}$ B、 $f (x) = | x |$ ， $φ (t) = \sqrt{t^{2}}$ C、 $y = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 - x}$ ， $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ D、 $y = \sqrt{(3 - x)^{2}}$ ， $y = x - 3$

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10. 下列函数中满足“对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ”的是（）

A、 $f (x) = - 3 x + 1$ B、 $f (x) = - \frac{2}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + 4 x + 3$ D、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、若 $- \frac{π}{2} < α < β < \frac{π}{2}$ ，则 $β - α$ 的范围为 $(0 ， π)$ B、若 $α$ 在第一象限，则 $2 α$ 在第一、二象限 C、要得到函数 $y = \cos 2 x$ 的图像，只需将函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、在 $△ A B C$ 中，若 $\tan A \cdot \tan B < 1$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是钝角三角形

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12. 下列结论中正确的结论是（）

A、 $x \in R$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 最小值是2 B、 $\sin^{2} x + \frac{2}{\sin^{2} x + 2}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$ C、正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = 2$ ，则 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、 $a > 0$ ， $b > - 1$ ， $a + a b = 1$ ，则 $a + b + 1$ 的最小值为2

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三、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分．

13. 已知 $a = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则 ${log}_{2} (2 a) =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = 3 \cos (2 x - \frac{π}{6}) + 1$ 单调递增区间为.

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x + 1} + 1}{3^{x} + 1}$ 在 $[- 2021 ， 2021]$ 上的最大值与最小值分别为 $M$ ， $m$ ，则 $M + m =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称，则下列结论正确的序号是．
⑴函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称

⑵当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

⑶若 $f (\frac{π}{6} - α) = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ，则 $\sin^{4} α - \cos^{4} α = - \frac{4}{5}$

⑷要得到 $f (x)$ 需将 $g (x) = \sqrt{2} \cos 2 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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四、解答题：本题共6小题，共74分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

(1)、化简 $f (α) = \frac{\sin (π - α) \cos (\frac{3 π}{2} - α) \tan (- π - α)}{\cos (- \frac{π}{2} - α) \tan (2 π + α)}$ ；

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} - b x + \frac{1}{4} = 0$ 的两根为 $\sin θ$ 和 $\cos θ$ ， $θ \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ .求实数 $b$ 以及 $\sin θ - \cos θ$ 的值.

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18. 已知实数 $a$ 大于0，定义域为 $R$ 函数 $f (x) = \frac{3^{x}}{a} + \frac{a}{3^{x}} + 1$ 是偶函数.

(1)、求实数 $a$ 的值并判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (2 t - 1) \geq f (t - 2 m)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知：函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴方程；

(2)、若方程 $f (x) - k = 0$ 在定义域 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上有两个不同的根，求出实数k的取值范围．

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20. 2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

$x (T)$	1	2	3	4	5	6	…
y(万个)	…	10	…	50	…	150	…

若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过 $x (x \in N^{*})$ 个单位时间T的关系有两个函数模型 $y = p x^{2} + q$ 与 $y = k a^{x} (k > 0 ， a > 1)$ 可供选择．

(1)、判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)、求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．(参考数据：

\sqrt{5} \approx 2.236 ， \sqrt{6} \approx 2.449

，

\lg 2 \approx 0.301 ， \lg 6 \approx 0.778

)

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21. 设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \sin^{2} x - \sqrt{3} \cos^{2} x - \frac{1}{2}$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及其图像的对称中心；

(2)、若 $x_{0} \in [\frac{5 π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ 且 $f (x_{0}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)$ ， $g (x) = x^{2} - a x + 6$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $g (x) < 0$ 的解集为 ${x | 2 < x < 3}$ ，当 $x > 1$ 时，求 $\frac{g (x)}{x - 1}$ 的最小值；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [1 ， + \infty)$ 、 $x_{2} \in [- 2 ， 4]$ ，不等式 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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