江苏省泰州市泰兴市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、2x+y＝1 B、x²+3xy＝6 C、x+ $\frac{1}{x}$ ＝4 D、x²＝3x﹣2

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2. 若2x＝5y，则下列式子中错误的是（）

A、 $\frac{y}{x} = \frac{5}{2}$ B、 $\frac{y}{x} = \frac{2}{5}$ C、 $\frac{x + y}{x} = \frac{7}{5}$ D、 $\frac{x - y}{y} = \frac{3}{2}$

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3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（）

A、不变 B、扩大5倍 C、缩小5倍 D、不能确定

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4. 已知一组数据a、b、c、d的平均数是3，在这组数据后再添加数据3得到一组新数据a、b、c、d、3，则新数据与原数据相比，方差将（）

A、不变 B、变大 C、变小 D、不能确定

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = B C$ ， $∠ B A O = 75 °$ ，则 $∠ D =$ （）

A、 $60 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、无法确定

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6. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 m x$ ，对于其图像和性质，下列说法错误的是（）

A、图像开口向下 B、图像经过原点 C、当 $x > 2$ 时，y随x的增大而减小，则 $m < 2$ D、当 $x < m$ 时，y随x的增大而增大

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二、填空题

7. 方程 $x^{2} = 2 x$ 的解为.

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8. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图， $P$ 为 $A B$ 的黄金分割点 $(A P > P B)$ ，如果 $A B$ 的长度为 $8 c m$ ，那么 $A P$ 的长度是.

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9. 将抛物线 $y = - 2 x^{3}$ 向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为.

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10. 如图，以点O为位似中心，将 $Δ O A B$ 放大后得到 $Δ O C D$ ， $O A = 2 ， A C = 3$ ，则 $\frac{A B}{C D} =$ ．

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11. 一个圆锥的底面半径和高都是 $2 c m$ ，则圆锥的侧面积为 $c m^{2}$ .（结果保留 $π$ ）

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12. 已知锐角 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $t a n B = 3$ ，则 $B C$ 的长为.

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13. 已知a、b是方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的根，则式子 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值为.

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14. 如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度 $A B = 48$ 米，拱高 $C D = 16$ 米（C为 $A B$ 的中点，D为弧 $A B$ 的中点）.则桥拱所在圆的半径为米.

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15. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是.

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16. 如图，矩形 $C D E F$ 中， $C D = 8 c m$ ， $C F = 6 c m$ ，点G在边 $F E$ 上从F向点E运动，速度为 $3 c m / s$ ，同时点H在边 $D E$ 上从E向点D运动，速度为 $4 c m / s$ .连接 $C G$ 、 $F H$ ，设 $C G$ 、 $F H$ 交于点B，取 $E F$ 的中点A，则 $A B$ 的最小值为 $c m$ .

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三、解答题

17.

(1)、计算： $\sqrt[3]{27} - {(π - 2023)}^{0} + \sqrt{3} c o s 3 0^{°}$

(2)、解方程： $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ .

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + k = 0$ 有两个实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解.

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19. 某学校要调查该校学生（学生总数1200人）双休日的学习状况，采用下列调查方式：①从一个年级里选取200名学生；②选取学校里200名女学生；③按照一定比例在三个不同年级里随机选取200名学生.

(1)、上述调查方式中最合理的是；（填写序号即可）

(2)、将最合理的方式调查得到的数据制成频数分布直方图（如图1）和扇形统计图（如图2），在这个样本中，200名学生双休日在图书馆等场所学习的有人；

(3)、在（2）的条件下，请估计该学校1200学生双休日学习时间不少于4小时的人数.

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20.

(1)、如图，将“二”“十”“大”三个汉字随机填写在三个空格中（每空填一个汉字，每空中的汉字不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右汉字顺序恰好是“二十大”的概率；

(2)、若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将“祖”“国”“你”“好”四个汉字任意填写其中（每空填一个汉字，每空中的汉字不重复），从左往右汉字顺序恰好是“祖国你好”的概率为.

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，E是边 $A D$ 的延长线上一点，连接 $B E$ 交边 $C D$ 于点F，交对角线 $A C$ 于点G.

(1)、求证： $△ B G C ∽ △ E G A$ ；

(2)、若 $\frac{C G}{A G} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{D F}{C F}$ 的值.

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22. 如图，点A在 $⊙ O$ 的直径 $C D$ 的延长线上，点B在 $⊙ O$ 上，连接 $A B$ 、 $B C$ .

(1)、给出下列信息：① $A B = B C$ ；② $∠ A = 30 °$ ；③ $A B$ 与 $⊙ O$ 相切.
请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明.你选择的条件是，结论是（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）.

(2)、在（1）的条件下，若 $A B = 6$ ，求图中阴影部分的面积.

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23. 如图，小明想要利用无人机测量他家附近一座古塔（ $A B$ ）的高度.在古塔所在的地平面上选定点C.在C处测得古塔顶端A点的仰角为 $53 °$ ，小明遥控无人机悬停在点C正上方的D处时，测得古塔顶端A点的俯角为 $26.6 °$ ，若此时无人机显示屏上显示其离地面的高度（ $C D$ ）为 $110 m$ .求古塔（ $A B$ ）的高度以及观测点到古塔的水平距离（ $B C$ ）.（参考数据： $t a n 26.6 ° \approx 0.5$ ， $s i n 37 ° = c o s 53 ° \approx 0.6$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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24. 一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价.设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克.

(1)、求y与x的函数关系式.

(2)、若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售 $(x \geq 8)$ ，试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大.

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25. 数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片.

(1)、如图1，一张圆形纸片，圆心为O，圆上有一点A，折叠圆形纸片使得A点落在圆心O上，折痕交 $⊙ O$ 于B、C两点，求 $∠ B A C$ 的度数.

(2)、把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点M是弧 $P Q$ 上一动点.
①如图2，当点M是弧 $P Q$ 中点时，在线段 $O P$ 、 $O Q$ 上各找一点E、F，使得 $△ E F M$ 是等边三角形.试用尺规作出 $△ E F M$ ，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹.

②在①的条件下，取 $△ E F M$ 的内心N，则 $O N =$ .

③如图3，当M在弧 $P Q$ 上三等分点S、T之间（包括S、T两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个 $△ E F M$ 是等边三角形，取 $△ E F M$ 的内心N，请问 $O N$ 的长度是否变化.如变化，请说明理由；如不变，请求出 $O N$ 的长度.

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26. 阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是平面直角坐标系内两点， $R (x_{0} ， y_{0})$ 是 $P Q$ 的中点，则有结论 $x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $y_{0} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ .这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.
已知：二次函数 $y = x^{2}$ 的函数图象上分别有A，B两点，其中 $B (2 ， 4)$ ， A，B分别在对称轴的异侧，C是 $A B$ 中点，D是 $B C$ 中点.利用阅读材料解决如下问题：

(1)、概念理解：
如图1，若 $A (- 1 ， 1)$ ，求出C，D的坐标.

(2)、解决问题：
如图2，点A是B关于y轴的对称点，作 $D E ∥ y$ 轴交抛物线于点E.延长 $D E$ 至F，使得 $D E = 3 E F$ .试判断F是否在x轴上，并说明理由.

(3)、拓展探究：
如图3， $A (m ， n)$ 是一个动点，作 $D E ∥ y$ 轴交抛物线于点E.延长 $D E$ 至F，使得 $D E = 3 E F$ .
①令 $F (a ， b)$ ，试探究 $b - 4 a$ 值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
②在①条件下，y轴上一点 $G (0 ， 2)$ ，抛物线上任意一点H，连接 $G H$ ， $H F$ ，直接写出 $G H + H F$ 的最小值.

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