浙江省宁波市南三县2022-2023学年九年级上学期期末质量检测数学

试卷更新日期：2023-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若一个正n边形的每个外角为30°，则这个正n边形的边数是（）

A、10 B、11 C、12 D、14

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2. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，则 $c o s B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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3. 要将抛物线 $y = - 3 x^{2}$ 平移后得到抛物线 $y = - 3 {(x + 1)}^{2} + 3$ ，下列平移方法正确的是（）

A、向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B、向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C、向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D、向右平移1个单位，再向下平移3个单位

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4. 利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验中，同学小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）

A、抽中的扑克牌编号是3的概率 B、抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率 C、抽中的扑克牌编号大于3的概率 D、抽中的扑克牌编号是偶数的概率

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5. 二次函数 $y = k x^{2} - 4 x + 2$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，则 $k$ 满足的条件是（）

A、 $k > 2$ B、 $k = 3$ C、 $k < 2$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \leq 2$

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 14$ ，点D在边 $B C$ 上， $C D = 6$ ，以点D为圆心作 $⊙ D$ ，其半径长为r，要使点A恰在 $⊙ D$ 外，点B在 $⊙ D$ 内，则r的取值范围是（）

A、 $8 < r < 10$ B、 $6 < r < 8$ C、 $6 < r < 10$ D、 $2 < r < 14$

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知 $∠ A O C = 130 °$ ，则 $∠ C B D =$ （）

A、 $68 °$ B、 $65 °$ C、 $50 °$ D、 $70 °$

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $A D$ 三等分点且 $A E > D E$ ，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，若 $△ D E F$ 的面积为1，则 $▱ A B C D$ 的面积为（）

A、16 B、20 C、24 D、18

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9. 如图所示为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列结论： $①$ $b^{2} > 4 a c$ ； $②$ $9 a + 3 b + c > 0$ ； $③$ $a b c < 0$ ； $④$ $3 a + c < 0$ ；其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，在平行四边形 $F B C E$ 中，点 $J ， G$ 分别在边 $B C ， E F$ 上， $J G ∥ B F$ ，四边形 $A B C D ∼$ 四边形 $H G F A$ ，相似比 $k = 3$ ，则下列一定能求出 $△ B I J$ 面积的条件（）

A、四边形 $H D E G$ 和四边形 $A H G F$ 的面积之差 B、四边形 $A B C D$ 和四边形 $H D E G$ 的面积之差 C、四边形 $A B C D$ 和四边形 $A D E F$ 的面积之差 D、四边形 $J C D H$ 和四边形 $H D E G$ 的面积之差

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二、填空题

11. 若 $2 x = y$ ，则 $\frac{2 x + y}{x - 3 y}$ 的值是．

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12. 从 $π$ ， 0， $\frac{13}{7}$ ， $\sqrt{3}$ ， -1中任取一个数，取到无理数的概率是.

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13. 抛物线 $y = 2 {(x + 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标是.

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14. 如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为 $2 m$ ，下午3时又测得该树的影长为 $8 m$ ，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为 $m$ .

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15. 在圆 $O$ 中， $A ， B ， C ， E$ 四点在圆上， $O C ⊥ A B$ ， $A B = 8$ ， $C D = 2$ ，则 $C E$ 的值为.

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E在 $A B$ 上， $A E = 3 B E$ ，连接 $C E$ ，取 $C E$ 中点F，过F作 $G F ⊥ C F$ 且使得 $G F = C F$ ，连接 $A G$ 并延长，将 $△ C F G$ 绕点C旋转到 $△ C F^{'} G^{'}$ ，当 $A$ ， $G$ ， $G^{'}$ 三点共线且 $A G = 3 \sqrt{7}$ 时， $K G^{'} =$ .

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三、解答题

17. $3 c o s 30 ° - t a n 60 ° + 2 s i n 30 ° - s i n^{2} 45 °$ .

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18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.

(1)、如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为 $\sqrt{2} ： 1$ .

(2)、请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比.相似比为： .

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19. 随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动.小明和小王分别打算从以下四个特色课程选择一个参加：
A.竞技乒乓，B.围棋博弈，C.名著阅读，D.街舞少年.

(1)、小明选择街舞少年的概率为.

(2)、用画树状图或列表的方法求小明和小王选择同一个课程的概率.

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20. 如图1是一个简易手机支架，由水平底板 $D E$ 、侧支撑杆 $B D$ 和手机托盘长 $A C$ 组成，侧面示意图如图2所示.已知手机托盘长 $A C = 10 c m$ ，侧支撑杆 $B D = 10 c m$ ， $∠ C B D = 75 °$ ， $∠ B D E = 60 °$ ，其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是 $A C$ 的中点，手机托盘 $A C$ 可绕点B转动，侧支撑杆 $B D$ 可绕点D转动.

(1)、如图2，求手机托盘最高点A离水平底板 $D E$ 的高度h（精确到 $0.1 c m$ ）.

(2)、如图3，当手机托盘 $A C$ 绕点B逆时针旋转 $15 °$ 后，再将 $B D$ 绕点D顺时针旋转 $α$ ，使点C落在水平底板 $D E$ 上，求 $α$ （精确到0.1 $°$ ）.（参考数据： $t a n 26.6 ° \approx 0.5$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. 生鲜水果店采购了某品牌樱桃，进价每千克50元.而据统计发现樱桃的日销售量 $y$ （千克）与每千克售价 $x$ （元）之间满足一次函数关系 $y = - 2 x + 200$ .

(1)、该生鲜水果店要想每日获得1200元的利润，则樱桃的售价每千克应定为多少元？

(2)、当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，以边 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ 分别交 $B C$ ， $A C$ 于点D，E，点D是 $B C$ 中点，连接 $O E$ ， $O D$ .

(1)、求证： $△ A B C$ 是等腰三角形.

(2)、若 $A B = 6$ ， $∠ A = 40 °$ ，求 $\overset{⌢}{A E}$ 的长和扇形 $E O D$ 的面积.

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23. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像经过三点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (0 ， 3)$ .

(1)、求二次函数的表达式.

(2)、二次函数的图象上若有两点 $(\frac{7}{2} ， y_{1})$ ， $(m ， y_{2})$ 且 $y_{1} < y_{2}$ ，根据图象直接写出 $m$ 的取值范围.

(3)、点 $D$ 是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作 $D E ∥ y$ 轴交 $B C$ 于点 $E$ ，作 $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ .当 $D$ 点运动时，求 $△ D E F$ 面积的最大值.

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24. 如图1， $△ A B C$ 为圆O的内接三角形， $△ A B C$ 的三条角平分线交于点I，延长AI交圆O于点D，连接 $D C$ .

(1)、求证： $D I = D C$ .

(2)、如图2，连接 $B D$ ，设 $B C$ 与 $A D$ 交于点P，若 $O I ⊥ A D$ ， $A B = 8$ ，求 $B P$ 的长.

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 内接于圆O，连接对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点E，且 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，过B作 $B F ∥ C D$ 交 $A C$ 于点F， $B G$ 平分 $∠ A B D$ 交 $A C$ 于点G，若 $s i n ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $A D = 6$ ，求 $F G$ 的最大值，并求此时圆O的半径.

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