浙江省宁波市海曙区2022-2023学年九年级上学期期末质量检测数学试题卷

试卷更新日期：2023-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列事件中，是必然事件的是（　　）

A、购买1张彩票，中奖 B、任意画一个三角形，其内角和是180° C、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 D、射击运动员射击一次，命中靶心

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2. 将抛物线 $y = (x - 1)^{2} - 3$ 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线解析式是（）

A、 $y = (x - 3)^{2} - 4$ B、 $y = (x + 1)^{2} - 4$ C、 $y = (x + 1)^{2} - 2$ D、 $y = (x - 3)^{2} - 2$

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3. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上， $\hat{A E}$ 的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（）

A、180° B、120° C、100° D、150°

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D 、 E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 上的点， $D E ∥ B C$ ， $B E$ 与 $C D$ 相交于 $F$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{A D}{B D} = \frac{D E}{B C}$ B、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ C、 $\frac{D F}{C F} = \frac{A E}{C E}$ D、 $\frac{D F}{B F} = \frac{E F}{C F}$

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5. 如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形 $O A B C$ 是边长为1的正方形， $O C$ 与x轴正半轴的夹角为 $15 °$ ，则点B的纵坐标为（）

A、-2 B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，当函数值 $y < 0$ 时，x的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $0 < x < 2$ C、 $- 1 < x < 2$ D、 $x < - 1$ 或 $x > 2$

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7. 如图，边长为 $1$ 的小正方形网格中，点 $A 、 B 、 C 、 E$ 在格点上，过 $A 、 B 、 E$ 三点的圆交 $B C$ 于点 $D$ ，则 $∠ A E D$ 的正切值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 如图，扇形 $A O B$ 圆心角为直角， $O A = 10$ ，点C在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，以 $O A$ ， $C A$ 为邻边构造 $▱ A C D O$ ，边 $C D$ 交 $O B$ 于点E，若 $O E = 8$ ，则图中两块阴影部分的面积和为（　　）

A、 $10 π - 8$ B、 $5 π - 8$ C、 $25 π - 64$ D、 $50 π - 64$

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9. 如图，将含有 $60 °$ 锐角的三角板 $△ A B C$ 绕 $60 °$ 的锐角顶点C逆时针旋转 $α °$ 到 $△ E C D$ ， $A B$ 、 $C E$ 相交于点F，连接 $A E$ ，若 $A E = A F$ ，则旋转角 $α$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $40 °$ C、 $35 °$ D、 $30 °$

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10. 如图，点 $I$ 为 $△ A B C$ 的内心，连接 $A I$ 并延长交 $△ A B C$ 的外接圆于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $A I = 2 C D$ ，则 $\frac{A E}{E D}$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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二、填空题

11. 从3名男生和2名女生中任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是.

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12. 若扇形的弧长为 $\frac{3 π}{4}$ ，圆心角为 $45 °$ ，则该扇形的半径为.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中， $∠ A C B = ∠ A E D = 90 ° ， ∠ A B C = ∠ A D E$ ，连接 $B D$ 、 $C E$ ，若 $A C ： B C = 1 ： 2$ ，则 $B D ： C E$ 为.

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14. 已知点 $P (m ， n)$ 在二次函数 $y = x^{2} + 4$ 的图象上，则 $m - n$ 的最大值等于.

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15. 如图， $⊙ O$ 的半径为4， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $∠ A B C = 90 °$ ，直线 $C E$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，若 $A C = 10$ ，则 $A E$ 的长是.

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16. 如图，已知 $∠ M O N = 120 °$ ，点P、A分别为射线 $O M$ 、射线 $O N$ 上的动点，将射线 $P A$ 绕点P逆时针旋转 $30 °$ 交射线 $O N$ 于点B，则 $\frac{O A}{A B}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 在科学实验复习备考中，王老师为本班学生准备了下面3个实验项目：A.测量物质的密度：B.实验室制取二氧化碳：C探究凸透镜成像.并准备了如图的三等分转盘，规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指向的实验项目（若指针停在等分线上，则重新转动转盘）.根据数学知识回答下列问题：

(1)、请直接写出：小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是；

(2)、请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率（用树状图或列表法求解）.

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18. 如图1是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图， $D E$ 为地面，支架 $C D$ 垂直地面， $A B ， B C$ 可分别绕点B，C转动，测量知 $B C = 30 c m ， C D = 100 c m$ .当 $A B ， B C$ 转动到 $∠ A B C = 75 ° ， ∠ B C D = 120 °$ ，且A、C、D三点共线时，求点A到地面的距离.

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19. 如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格中，点 $A ， B ， C$ 均在格点上，请按要求作图.

(1)、在图1中画一个格点 $△ A D E$ ，使 $△ A D E ∽ △ A B C$ .

(2)、在图2中画一条格点线段 $B P$ ，交 $A C$ 于点Q，使 $C Q = 2 A Q$ .

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20. 如图，抛物线 $y_{1} = a x^{2} - 2 x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (3 ， 0)$ 两点.

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、过点A的直线 $y_{2} = m x + n$ 与抛物线在第一象限交于点D，若点D的纵坐标为5，请直接写出当 $y_{2} < y_{1}$ 时，x的取值范围是.

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $⊙ O$ 于点D，过点D作 $⊙ O$ 的切线 $E F$ ，交 $A B$ 的延长线于点E，交 $A C$ 的延长线于点F.

(1)、求证： $A F ⊥ E F$ ；

(2)、若 $A C = 2 ， A B = 4$ ，求 $B E$ 的长.

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22. 某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系： $W = - 2 x + 80$ .设这种产品每天的销售利润为y（元）.

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

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23. 如图：

(1)、[基础巩固]如图1，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C ， ∠ A D B = ∠ D C B$ ，求证： $B D^{2} = B A \cdot B C$ ；

(2)、[尝试应用]如图2，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，F在 $A D$ 边上， $A B = A F$ ，点E在 $B A$ 延长线上，连接 $E F$ 、 $B F$ 、 $C F$ ，若 $∠ E F B = ∠ D F C ， B E = 4 ， B F = 5$ ，求 $B C$ 的长；

(3)、[拓展提高]如图3，E是 $△ A B C$ 内部一点，F为 $A C$ 边上一点，连接 $A E ， B E ， C E ， E F$ ，已知 $∠ F E C = ∠ C B E$ ， $∠ B E C = ∠ A E F ， B E = 18 ， E F = 7 ， \frac{C E}{B C} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{A F}{F C}$ 的值.

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24. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的弦，P是劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的动点， $P O$ 交 $A B$ 于点C，交 $⊙ O$ 于点D，作 $P E ⊥ A B$ ，分别交 $A B$ 、 $O A$ 于点E、F，交 $⊙ O$ 于点G，连接 $A G ， G D ， D B ， C F$ .

(1)、求证： $A G = B D$ ；

(2)、当 $∠ O A B = ∠ A O C = 30 °$ 时，求 $∠ G D B$ 的大小；

(3)、当 $C F ∥ O B$ 时，
①求证： $D P$ 平分 $∠ G D B$ ；
②若 $A G = 4 ， t a n ∠ G P D = \frac{2}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的面积.

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