2013年高考理数真题试卷（湖北卷）

试卷更新日期：2016-09-26 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在复平面内，复数z= $\frac{2 i}{1 + i}$ （i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知全集为R，集合A={x|（ $\frac{1}{2}$ ）^x≤1}，B={x|x²﹣6x+8≤0}，则A∩（∁_RB）=（）

A、{x|x≤0} B、{x|2≤x≤4} C、{x|0≤x＜2或x＞4} D、{x|0＜x≤2或x≥4}

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3. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）

A、（￢p）∨（￢q） B、p∨（￢q） C、（￢p）∧（￢q） D、p∨q

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4. 将函数 $y = \sqrt{3} \cos x + \sin x (x \in R)$ 的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 已知0＜θ＜ $\frac{π}{4}$ ，则双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{\cos^{2} θ} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} θ} = 1$ 与C₂： $\frac{y^{2}}{\sin^{2} θ}$ ﹣ $\frac{x^{2}}{\sin^{2} θ \tan^{2} θ}$ =1的（）

A、实轴长相等 B、虚轴长相等 C、焦距相等 D、离心率相等

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6. 已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{15}}{2}$

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7. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 $v (t) = 7 - 3 t + \frac{25}{1 + t} (t$ 的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）

A、1+25ln5 B、8+25ln $\frac{11}{3}$ C、4+25ln5 D、4+50ln2

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8. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V₁ ， V₂ ， V₃ ， V₄ ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）

A、V₁＜V₂＜V₄＜V₃ B、V₁＜V₃＜V₂＜V₄ C、V₂＜V₁＜V₃＜V₄ D、V₂＜V₃＜V₁＜V₄

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9.
如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）

A、 $\frac{126}{125}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{168}{125}$ D、 $\frac{7}{5}$

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10. 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂）（）

A、 $f (x_{1}) > 0, f (x_{2}) > - \frac{1}{2}$ B、 $f (x_{1}) < 0, f (x_{2}) < - \frac{1}{2}$ C、 $f (x_{1}) > 0, f (x_{2}) < - \frac{1}{2}$ D、 $f (x_{1}) < 0, f (x_{2}) > - \frac{1}{2}$

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二、填空题：请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．）

11.
从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）直方图中x的值为；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为．

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12. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= ．

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13. 设x，y，z∈R，且满足： $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 ， x + 2 y + 3 z = \sqrt{14}$ ，则x+y+z= ．

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14. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为 $\frac{n (n + 1)}{2} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 $N (n ， 3) = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ，
正方形数N（n，4）=n² ，
五边形数 $N (n ， 5) = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n$ ，
六边形数N（n，6）=2n²﹣n，
…
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）= ．

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15. （选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则 $\frac{C E}{E O}$ 的值为．

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16. （选修4﹣4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a \cos ϕ \\ y = b \sin ϕ \end{matrix} (ϕ$ 为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} m (m$ 为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为．

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三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．

(1)、求角A的大小；

(2)、若△ABC的面积S=5 $\sqrt{3}$ ，b=5，求sinBsinC的值．

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18. 已知等比数列{a_n}满足：|a₂﹣a₃|=10，a₁a₂a₃=125．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、是否存在正整数m，使得 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{m}} \geq 1$ ？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．

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19. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．

(1)、记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；

(2)、设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足 $\vec{D Q} = \frac{1}{2} \vec{C P}$ ．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．

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20. 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，50²）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p₀ ．

(1)、求p₀的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ²），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）

(2)、某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p₀的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

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21. 如图，已知椭圆C₁与C₂的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C₁ ， C₂的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记 $λ = \frac{m}{n}$ ，△BDM和△ABN的面积分别为S₁和S₂ ．

(1)、当直线l与y轴重合时，若S₁=λS₂ ，求λ的值；

(2)、当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂？并说明理由．

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22. 设n是正整数，r为正有理数．

(1)、求函数f（x）=（1+x）^r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（参考数据： $80^{\frac{4}{3}} \approx 344.7 ， 81^{\frac{4}{3}} \approx 350.5 ， 12 4^{\frac{4}{3}} \approx 618.3 ， 12 6^{\frac{4}{3}} \approx 631.7 ）$ ．

(2)、证明： $\frac{n^{r + 1} - {(n - 1)}^{r + 1}}{r + 1} < n^{r} < \frac{{(n + 1)}^{r + 1} - n^{r + 1}}{r + 1}$ ；

(3)、设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如 $[2] = 2, [π] = 4, [- \frac{3}{2}] = - 1$ ．令 $S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + ... \sqrt[3]{125}, 求 [S]$ 的值．

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