湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x)$ 可导，且满足 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (3 - Δ x) - f (3)}{Δ x} = 2$ ，则函数 $y = f (x)$ 在x＝3处的导数为（）

A、2 B、1 C、－1 D、－2

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 4 ， a_{3} + a_{5} = 4 (a_{4} - 1)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前5项和 $S_{5}$ 为（）

A、15 B、16 C、20 D、30

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3. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{3}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{2}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{13}}{2} x$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 3 ， a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1} (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ，则 $a_{2022} =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、4043 D、4044

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5. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为3，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过78，则该塔形中正方体的个数至少是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (1 ， 0)$ ，过F的直线与C交于M，N两点，准线与x轴的交点为A，当 $M A ⊥ N A$ 时，直线MN的方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $2 x - y - 2 = 0$ C、 $x - 2 y - 1 = 0$ D、 $x - 1 = 0$

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7. 已知两相交平面所成的锐二面角为70°，过空间一点P作直线l，使得直线l与两平面所成的角均为30°，那么这样的直线有（）条

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{3}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2022}}$ 的整数部分是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 方程 $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 表示的曲线中，可以是（）

A、双曲线 B、椭圆 C、圆 D、抛物线

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10. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{S_{n}}{n} < \frac{S_{n + 1}}{n + 1}$ ．若 $\frac{a_{17}}{a_{16}} < - 1$ ，则（）

A、 $a_{16} < 0$ B、 $a_{17} < 0$ C、 $S_{n}$ 的最小值是 $S_{16}$ D、 $S_{n}$ 的最大值是 $S_{17}$

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11. 抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，P是其上一动点，点 $M (1 ， 1)$ ，直线l与抛物线C相交于A，B两点，准线与x轴的交于点D，下列结论正确的是（）

A、 $| P M | + | P F |$ 的最小值是2 B、 $| P M | - | P F |$ 的最大值是2 C、存在直线l，使得A，B两点关于直线 $x + y - 5 = 0$ 对称 D、若直线l经过点D，且B点在线段AD上，不存在直线l，使得 $| A F | + | B F | = 2 | D F |$

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12. 如图所示：给定正整数n（ $n \geq 5$ ），按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n行只有一项，记第i行第j项为 $a_{i ， j}$ ，下列说法正确的是（）

A、当n＝100时， $a_{5 ， 4} = 96$ B、当n＝100时，最后一行的数为 $101 \times 2^{98}$ C、当n＝2022时， $a_{i ， 4} > 2022$ ，则i的最小值为8 D、当n＝2022时， $a_{i ， 5} = (i + 9) 2^{i - 2}$

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三、填空题

13. $2022$ 年 $2$ 月，第 $24$ 届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了 $9$ 金 $4$ 银 $2$ 铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程 $l$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系为 $l (t) = 2 t^{2} + \frac{3}{2} t$ ，则当 $t = 3 s$ 时，该运动员的滑雪瞬时速度为 $(m / s)$ ．

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 3$ ， $a_{3} + a_{6} + a_{9} = 12$ ．则 ${a_{n}}$ 的前9项之和为．

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15. 三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°， $△ P A B$ 和 $△ A B C$ 均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为．

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16. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线与椭圆E交于P、Q两点，P、Q在y轴左侧，且P点在x轴上方，点P关于坐标原点O对称的点为R，且 $∠ P Q R = 45 °$ ，则该椭圆的离心率为．

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四、解答题

17.

(1)、求长轴长为12，离心率为 $\frac{2}{3}$ ，焦点在 $x$ 轴上的椭圆标准方程；

(2)、已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 有公共焦点，求此双曲线的方程．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = - 2 n^{2} + 7 n$ ， $b_{n} = | a_{n} | (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 前n项的和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，AC＝BC，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 是菱形， $∠ A_{1} A B = 120 °$ ，点D在棱 $C C_{1}$ 上，且 $\vec{C D} = λ \vec{C C_{1}}$ ．

(1)、若 $A D ⊥ B_{1} C$ ，证明：平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面ABD．

(2)、若 $A B = B_{1} C = \sqrt{2} A C$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $A B_{1} C$ 与平面ABD所成得锐二面角的余弦值是 $\frac{1}{7}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为 $P$ ，点 $Q (0 ， b)$ ， $P F_{2} = 1$ ， $∠ F_{1} P Q = 60 °$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 经过点 $F_{2}$ ，且与双曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ F_{1} A B$ 的面积为 $6 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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21. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ ，焦点为F，点 $M (- 2 ， 0)$ ， $N (2 ， 2)$ ，过点M作抛物线的切线MP，切点为P， $| P F | = 3$ ，又过M作直线交抛物线于不同的两点A，B，直线AN交抛物线于另一点D．

(1)、求抛物线方程；

(2)、求证BD过定点．

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22. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n - 1} = a_{n} - 2 (n \geq 2)$ ，数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = n$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $T_{n} = a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + ⋯ + a_{n} b_{1}$ ；

(3)、设 $c_{n} = \frac{5 n^{2} + 19 n + 16}{a_{n + 2} b_{n} b_{n + 1} b_{n + 2}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项的和 $H_{n}$ ．

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